माना a, b, c in R यदि f(x)=a x^{2}+b x+c ऐसा | vedclass

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Question

$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$

$f\left( 1 \right) = a + b + c = 3 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 3$

Now $f\left( {x + y} \right) =

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$330$

Vedclass · Answer

$f\left( x ight) = a{x^2} + bx + c$

$f\left( 1 ight) = a + b + c = 3 \Rightarrow f\left( 1 ight) = 3$

Now $f\left( {x + y} ight) = f\left( x ight) + f\left( y ight) + xy\,\,\,\,\,\,...\left( 1 ight)$

Put $x=y=1$ in eqn $(1)$

$f\left( 2 ight) = f\left( 1 ight) + f\left( 1 ight) + 1$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2f\left( 1 ight) + 1$

$f\left( 2 ight) = 7$

$ \Rightarrow f\left( 3 ight) = 12$

Now, ${S_n} = 3 + 7 + 12 + ....{t_n}\,\,\,\,\,\,\,\,.....\left( 1 ight)$

${S_n} = 3 + 7 + ....{t_{n - 1}} + {t_n}\,\,\,\,\,\,\,......\,\left( 2 ight)$

Subtract $(2)$ from $(1)$

${t_n} = 3 + 4 + 5 + ...upto\,n\,terms$

${t_n} = \frac{{\left( {{n^2} + 5n} ight)}}{2}$

${S_n} = \sum {{t_n} = \sum {\frac{{\left( {{n^2} + 5n} ight)}}{2}} } $

${S_n} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} ight)\left( {2n + 1} ight)}}{6} + \frac{{5n\left( {n + 1} ight)}}{2}} ight] = \frac{{n\left( {n + 1} ight)\left( {n + 8} ight)}}{6}$

${S_{10}} = \frac{{10 	imes 11 	imes 18}}{6} = 330$

सूची $I$	सूची $II$
$P$ $f$ का परिसर (range) है	$1$ $\left(-\infty, \frac{1}{1- e }\right] \cup\left[\frac{ e }{ e -1}, \infty\right)$
$Q$ $g$ के परिसर में समाहित (contained) है	$2$ $(0,1)$
$R$ $f$ के प्रान्त (domain) में समाहित है	$3$ $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
$S$ $g$ का प्रान्त है	$4$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
	$5$ $\left(-\infty, \frac{ e }{ e -1}\right]$
	$6$ $(-\infty, 0) \cup\left(\frac{1}{2}, \frac{ e }{ e -1}\right]$

माना $a, b, c \in R$ यदि $f(x)=a x^{2}+b x+c$ ऐसा है कि $a+b+c=3$ है तथा सभी $x, y \in R$ के लिए
$f(x+y)=f(x)+f(y)+x y$ है, तो $\sum_{n=1}^{10} f(n)$ बराबर है:

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