यदि $f(x) = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^4}x}}$, $x \in R$ के लिए, तब $f(2002) = $

सभी $x, y \in N$ के लिए $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ को संतुष्ट करता हुआ $f$ एक ऐसा फलन है कि $f(1)=3$ एवं $\sum_{x=1}^{n} f(x)=120$ तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f({x_1}) - f({x_2}) = f\left( {\frac{{{x_1} - {x_2}}}{{1 - {x_1}{x_2}}}} \right)$, ${x_1},{x_2} \in [ - 1,\,1]$ के लिए, तब $f(x)$ है

माना $2{\sin ^2}x + 3\sin x - 2 > 0$ और ${x^2} - x - 2 < 0$ ($x$ रेडियन में है), तब $x$ निम्न अन्तराल में होगा

माना $\mathrm{S}=\{1,2,3,4,5,6\}$ है तो ऐसे ऐकेकी फलनों $\mathrm{f}: \mathrm{S} \rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{S})$, जहाँ $\mathrm{P}(\mathrm{S})$ समुच्चय $\mathrm{S}$ का घात समुच्चय $\mathrm{f}(\mathrm{n}) \subset \mathrm{f}(\mathrm{m})$ है जब भी $\mathrm{n}<\mathrm{m}$ है, की संख्या है_______. 

फलन $f(x)=x+\frac{1}{8} \sin (2 \pi x), 0 \leq x \leq 1$ का आरेख नीचे दर्शाया गया है. यदि $f_1(x)=f(x)$ और $n \geq$ 1 के लिए $f_{n+1}(x)=f\left(f_n(x)\right)$.

तब निम्न कथनों:

$I$ अनंत $x \in[0,1]$ संभव है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=0$.

$II$. अनंत $x \in[0,1]$ संभब है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=\frac{1}{2}$.

$III$ अनंत $x \in[0,1]$ संभव है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=1$.

$IV$. अन्त $x \in[0,1]$ सभव है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)$ का अस्तित्व नहीं है.

में से कौन से कथन सत्य है