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यदि $A$ कोटि $2 \times 2$ के वास्तविक आव्यूह है, और $|A| \neq 0$ जहाँ प्रविष्टियाँ $\{0,1\}$ से लिया गया है। निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$(P)$ यदि $A \neq I_{2}$, तो $|A|=-1$ $(Q)$ यदि $|A|=1$, तो $\operatorname{tr}(A)=2$,
जहाँ $I_{2}$ कोटि $2 \times 2$ के तत्समक आव्यूह को दर्शाता है और $\operatorname{tr}(A) A$ के विकर्ण प्रविष्टियों के योग को दर्शाता है। तो
$(P)$ सत्य है और $( Q )$ गलत है।
$(P)$ और $(Q)$ दोनों ही गलत हैं।
$(P)$ और $(Q)$ दोनों ही सत्य हैं।
$(P)$ गलत है और $( Q )$ सत्य है।
Solution
$|A| \neq 0$
For $(\mathrm{P}): \mathrm{A} \neq \mathrm{I}_{2}$
So, $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ or $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ or $\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ or $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
or $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$
IAl can be -1 or 1
So (P) is false.
For $(\mathrm{Q}) ; \quad|\mathrm{A}|=1$
$A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ or $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ or $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$
$\Rightarrow \operatorname{tr}(\mathrm{A})=2$
$\Rightarrow \mathrm{Q}$ is true
