माना [ $t ], t$ से कम या बराबर महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। तब $x$ में समीकरण $[ x ]^{2}+2[ x +2]-7=0$

यदि समीकरण $x^2-x-1=0$ के मूल $\alpha, \beta$ है तथा $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2023 \alpha^{\mathrm{n}}+2024 \beta^n$ है, तो

मान लें कि एक द्वियातीय बहुपद $P(x)=a x^2+b x+c$ के धनात्मक गुणांक क्रम से $a, b, c$ अकगणितीय श्रेढ़ी $(arithmatic\,progression)$ में है. यदि $P(x)=0$ के पूर्णाक मूल $\alpha$ और $\beta$ हों, तो $\alpha+\beta+\alpha \beta$ का मान होगा

अन्तराल $( - 3,\,3/2)$ में ${x^2} - 3x + 3$ का न्यूनतम मान है

माना समीकरणों $\mathrm{x}^2-12 \mathrm{x}+[\mathrm{x}]+31=0$ तथा $x^2-5|x+2|-4=0$ के वास्तविक मूलों की संख्या $\mathrm{m}$ तथा $\mathrm{n}$ है, जहाँ $[\mathrm{x}]$ महत्तम पूर्णांक $\leq \mathrm{x}$ है। तो $\mathrm{m}^2+\mathrm{mn}+\mathrm{n}^2$ बराबर है_____.

इन दो कथनों पर विचार करें :

$I$. दो चरों वाले संगत रेखीय समीकरणों $(consistent\,linear\,equations)$ के किसी भी युग्म का अद्वितीय हल है।

$II$. ऐसे दो क्रमागत पूर्णांकों का अस्तित्व नहीं हैं जिनके वर्गों का योग $365$ है।