किसी खेत में पशुओं की जनसंख्या इस प्रकार परिवर्तित होती है: वर्ष $n+2$ तथा वर्ष $n$ की जनसंख्याओं के बीच का अंतर वर्ष $n+1$ की जनसंख्या समानुपातिक है। यहाँ $n$ एक प्राकृत संख्या है। यदि वर्ष $2010,2011$ और $2013$ में पशुओं की जनसंख्या क्रमानुसार $39,60$ और $123$ हो तो वर्ष $2012$ में जनसंख्या का मान होगा:

समीकरण $|x{|^2}$-$3|x| + 2 = 0$ के वास्तविक हलों की संख्या है

मान लें कि $a, b$ अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं तो द्विघात $(quadratic)$ समीकरण $a x^2+(a+b) x+b=0$

के बारे में निम्नलिखित में से कौन से कथन निश्चय ही सत्य हैं?

$(I)$ इसका कम से कम एक शून्यक (root) ऋणात्मक होगा।

$(II)$ इसका कम से कम शक शून्यक धनात्मक होगा।

$(III)$ इसके दोनों शून्यक वास्तविक हैं।

माना द्विघात समीकरण  $$ \begin{aligned} x ^{2} \sin \theta- x (\sin \theta \cos \theta+1) &+\cos \theta \\ =& 0\left(0 < \theta < 45^{\circ}\right) \end{aligned} $$ के मूल $\alpha$ तथा $\beta(\alpha<\beta)$ हैं, तो $\sum_{ n =0}^{\infty}\left(\alpha^{ n }+\frac{(-1)^{ n }}{\beta^{ n }}\right)$ बराबर है

यदि समीकररण $x^2-7 x-1=0$ के मूल $a$ तथा $b$ हैं, तो $\frac{a^{21}+b^{21}+a^{17}+b^{17}}{a^{19}+b^{19}}$ का मान बराबर _______________ है।

यदि $x, y, z$ अशून्यक $(non-zero)$ वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=7$ तथा $\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=9$, तब $\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3}-3$ का मान क्या होगा ?