दि ${\log _2}x + {\log _x}2 = \frac{{10}}{3} = {\log _2}y + {\log _y}2$ तथा $x \ne y,$ तब $x + y =$

 यदि $72^x \cdot 48^y=6^{x y}$ हो, जहाँ $x$ तथा $y$ अशून्य परिमेय संख्याएँ हैं, तब $x+y$ का मान होगा

मान लें कि $a, b$ अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं तो द्विघात $(quadratic)$ समीकरण $a x^2+(a+b) x+b=0$

के बारे में निम्नलिखित में से कौन से कथन निश्चय ही सत्य हैं?

$(I)$ इसका कम से कम एक शून्यक (root) ऋणात्मक होगा।

$(II)$ इसका कम से कम शक शून्यक धनात्मक होगा।

$(III)$ इसके दोनों शून्यक वास्तविक हैं।

मान लें $a=\sum \limits_{n=101}^{200} 2^n \sum \limits_{k=101}^n \frac{1}{k !}$ और $b=\sum \limits_{n=101}^{200} \frac{2^{201}-2^n}{n !}$ तब $\frac{a}{b}$ है:

यदि $a, b, c, d,-5$ तथा 5 के बीच की वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $|a|=\sqrt{4-\sqrt{5-a}}, \quad|b|=\sqrt{4+\sqrt{5-b}}, \quad|c|=\sqrt{4-\sqrt{5+c}},|d|=\sqrt{4+\sqrt{5+a}}$ तब गुणांक $abcd$ क्या होगा ?

यदि $\alpha ,\beta $ समीकरण ${x^2} + (3 - \lambda )x - \lambda  = 0$  के मूल हों, तो $\lambda $ के किस मान के लिये ${\alpha ^2} + {\beta ^2}$ का मान न्यूनतम होगा