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माना $f : N \rightarrow R$ एक फलन इस प्रकार है कि प्राकृत संख्याओं $x$ तथा $y$ के लिए $f(x+y)=2 f(x) f(y)$ है । यदि $f(1)=2$ है, तो $\alpha$ का मान, जिसके लिए $\sum \limits_{ k =1}^{10} f (\alpha+ k )=\frac{512}{3}\left(2^{20}-1\right)$ सत्य हो, होगा
$2$
$3$
$4$
$6$
Solution
$f : N \rightarrow R , f ( x + y )=2 f ( x ) f ( y )$
$f (1)=2$,
$\sum_{ k =1}^{10} f (\alpha+ k )=2 f (\alpha) \sum_{ k =1}^{10} f ( k )$
$=2 f (\alpha)( f (1)+ f (2)+\ldots .+ f (10))$
From $(1)$
$f (2)=2 f ^{2}(1)=2^{3}$
$\left.f (3)=2 f (2) f (1)=2^{5}\right)$
$\vdots$
$f (10)=2^{9} f ^{10}(1)=2^{19}$
$f (\alpha)=2^{2 \alpha-1} ; \alpha \in N$
from $(2)$
$\sum_{ k =1}^{10} f (\alpha+ k )=2\left(2^{2 \alpha-1}\right)\left(2+2^{3}+2^{5}+\ldots .+2^{19}\right)$
$\frac{512}{3}\left(2^{20}-1\right)=2^{2 \alpha}\left(2 \frac{\left(2^{20}-1\right)}{3}\right)$
Hence $\alpha=4$
Similar Questions
माना कि $E_1=\left\{x \in R : x \neq 1\right.$ और $\left.\frac{x}{x-1}>0\right\}$
और $E_2=\left\{x \in E_1: \sin ^{-1}\left(\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)\right.$ एक वास्तविक संख्या (real number) है $\}$
(यहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse trigonometric function) $\sin ^{-1} x,\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में मान धारण करता है।)
माना कि फलन $f: E_1 \rightarrow R , f(x)=\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)$ के द्वारा परिभाषित है
और फलन $g: E_2 \rightarrow R , g(x)=\sin ^{-1}\left(\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)$ के द्वारा परिभाषित है।
| सूची $I$ | सूची $II$ |
| $P$ $f$ का परिसर (range) है | $1$ $\left(-\infty, \frac{1}{1- e }\right] \cup\left[\frac{ e }{ e -1}, \infty\right)$ |
| $Q$ $g$ के परिसर में समाहित (contained) है | $2$ $(0,1)$ |
| $R$ $f$ के प्रान्त (domain) में समाहित है | $3$ $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ |
| $S$ $g$ का प्रान्त है | $4$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$ |
| $5$ $\left(-\infty, \frac{ e }{ e -1}\right]$ | |
| $6$ $(-\infty, 0) \cup\left(\frac{1}{2}, \frac{ e }{ e -1}\right]$ |
दिए हुए विकल्पों मे से सही विकल्प है:
