माना $f : N \rightarrow R$ एक फलन इस प्रकार है कि प्राकृत संख्याओं $x$ तथा $y$ के लिए $f(x+y)=2 f(x) f(y)$ है । यदि $f(1)=2$ है, तो $\alpha$ का मान, जिसके लिए $\sum \limits_{ k =1}^{10} f (\alpha+ k )=\frac{512}{3}\left(2^{20}-1\right)$  सत्य हो, होगा

यादि $f(x) = \cos (\log x)$, तब  $f(x)f(y) - \frac{1}{2}[f(x/y) + f(xy)] = $

यदि $y = f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx - a}}$, तब $x =$

दिया गया फलन है  $f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2},$ $(a > 2)$ तब $f(x + y) + f(x - y) = $

फलन $f(x) = \;|px - q|\; + r|x|,\;x \in ( - \infty ,\;\infty )$, जहाँ $p > 0,\;q > 0,\;r > 0$ का केवल एक बिन्दु पर निम्निष्ठ मान होगा यदि

माना $A =\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{7}\right\}$ तथा $B =\left\{y_{1}, y_{2}, y_{3}\right\}$ ऐसे दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः सात तथा तीन विभित्र अवयव हैं ; तो ऐसे फलनों $f: A \rightarrow B$ की कुल संख्या, जो कि आच्छादक हैं, यदि $A$ में ऐसे ठीक तीन $x$ अवयव हैं जिनके लिए $f(x)=y_{2}$ है