माना $f : R \rightarrow R$,$f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y), f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ द्वारा परिभाषित है। तो $\sum_{ k =1}^{20} \frac{1}{\sin ( k ) \sin ( k + f ( k ))}$ बराबर है

फलन $f(x) = \frac{{{{\sin }^{ - 1}}(3 - x)}}{{\ln (|x|\; - 2)}}$ का डोमेन (प्रान्त) है

यदि $R$ वास्तविक संख्याओं का एक समुच्चय इस प्रकार है कि $f: R \rightarrow R$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित होता है

$f(x)=\frac{[x]}{1+[x]^2}$, जहाँ $[x]$ अधिकतम पूर्णांक जो $x$ के बराबर या उससे छोटा है तथा $[x\}=x-[x]$.तब निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है ?

$I$. $f^{\prime}$ का परास $(range)$ एक बंद अन्तराल $(closed\,interval)$ है

$II$. $f, R$ पर सतत $(continuous)$ फलन है

$III$. $f$. $I$पर एकैक $(one-one)$ फलन है

मान लीजिए कि $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) \text { when } x \neq 0 \\ 1 \text { when } x=0 \end{array}\right\}$ और $A=\{x \in R : f(x)=1\}$. तब $A$ में क्या है ?

फलन $f(x)=|\sin 4 x|+|\cos 2 x|$ एक आवर्ति फलन है जिसका आवर्त काल है

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=x^{3}$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: R \rightarrow R$ एकैक (Injective) है।