सिद्ध कीजिए कि $f(x)=x^{3}$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: R \rightarrow R$ एकैक (Injective) है।
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$f : R \rightarrow R$ is given as $f ( x )= x ^{3}$
For one - one
Suppose $f(x)=f(y),$ where $x, \,y \in R$
$\Rightarrow x^{3}=y^{3}$ ........... $(1)$
Now, we need to show that $x=y$
Suppose $x \neq y,$ their cubes will also not be equal.
$\Rightarrow x^{3} \neq y^{3}$
However, this will be a contradiction to $(1)$.
$\therefore $ $x = y$ Hence, $f$ is injective.
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यदि $f(x) = 2\sin x$, $g(x) = {\cos ^2}x$, तो $(f + g)\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = $
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यदि फलन $f(x)=\log _e\left(\frac{2 x+3}{4 x^2+x-3}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{x+2}\right) $ का प्रांत $(\alpha, \beta]$ है, तो $5 \beta-4 \alpha$ का मान बराबर है
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मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन इस प्रकार है कि सभी $x \in R$ के लिए $f\left(x^2\right)=f\left(x^3\right)$ है। निम्न कथनों पर विचार करें
$I$. $f$ एक विषम फलन है
$II$. $f$ एक सम फलन है
$III$. $f$ सभी जगह अवकलनीय है तब
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मान लीजिए कि $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) \text { when } x \neq 0 \\ 1 \text { when } x=0 \end{array}\right\}$ और $A=\{x \in R : f(x)=1\}$. तब $A$ में क्या है ?
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माना $A =\{ a , b , c \}$ तथा $B =\{1,2,3,4\}$ हैं, तो समुच्चय $C =\{ f : A \rightarrow B \mid 2 \in f ( A )$ तथा $f$ एकैकी नहीं है $\}$ के अवयवों की संख्या है
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