ધારો કે  $f : N \rightarrow R$ એવું વિધેય છે કે જેથી  પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે $f(x+y)=2 f(x) f(y)$. જો $f(1)=2$, તો $\sum \limits_{k=1}^{10} f(\alpha+k)=\frac{512}{3}\left(2^{20}-1\right)$ થાય તે  માટેની $\alpha$ ની કિમત ....... છે.

વિધેય $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{\tan ^{ - 1}}x\;\;\;\;\;,\;|x|\; \le 1\\\frac{1}{2}(|x|\; - 1)\;,\;|x|\; > 1\end{array} \right.$ ના વિકલીતનો પ્રદેશ મેળવો.

ધારોકે $f(x)=2 x^{2}-x-1$ અને $S =\{n \in Z :|f(n)| \leq 800\}$ છે, તો $\sum_{n \in S} f(n)$ નું મૂલ્ય ............ છે.

વિધેય $f(x)={\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x}$ હોય તો f (x) નો વિસ્તાર મેળવો

$f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}({{\sin }^{ - 1}}x) - 1} }}$ નો પ્રદેશગણ મેળવો.

તદેવ વિધેય $I _{ N }: N \rightarrow N$, $I _{ N }$ $(x)=x$  $\forall $  $x \in N$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $I _{ N }$ વ્યાપ્ત હોવા છતાં $I _{ N }+ I _{ N }:$  $ N \rightarrow N$, $\left(I_{N}+I_{N}\right)(x)=$ $I_{N}(x)+I_{N}(x)$ $=x+x=2 x$ વ્યાપ્ત નથી.