माना $f: R \rightarrow R$ एक फलन है, जो $f(x)=\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x}+e}$ तब $f\left(\frac{1}{100}\right)+f\left(\frac{2}{100}\right)+f\left(\frac{3}{100}\right)+\ldots . .+f\left(\frac{99}{100}\right)$ बराबर होगा।

तत्समक फलन $I _{N }: N \rightarrow N$ पर विचार कीजिए, जो $I _{ N }(x)=x, \forall x \in N$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि, यद्यपि $I _{ N }$ आच्छादक है किंतु निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित फलन $I _{ N }+ I _{ N }: N \rightarrow N$ आच्छादक नहीं है

$\left( I _{ N }+ I _{ N }\right)(x)= I _{ N }(x)+ I _{ N }(x)=x+x=2 x$

सभी $x, y \in N$ के लिए $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ को संतुष्ट करता हुआ $f$ एक ऐसा फलन है कि $f(1)=3$ एवं $\sum_{x=1}^{n} f(x)=120$ तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x)=\frac{\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-5 x+6}{x^2-9}\right)}{\log _e\left(x^2-3 x+2\right)}$ का प्रांत है

फलन ${\sin ^{ - 1}}\sqrt x $ निम्न अंतराल में परिभाषित है

फलन

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\sqrt{[\mathrm{x}]^2-3[\mathrm{x}]-10}}$, (जहाँ $[\mathrm{x}]$ महत्तम पूर्णांक $\leq \mathrm{x}$ है, का प्रांत है)