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1.Relation and Function
medium
माना कि एक फलन $f: R \rightarrow R$ सभी $x , y \in R$ के लिए $f( x + y )=f( x ) f( y )$ को संतुष्ट करता है तथा $f(1)=3$ है। यदि $\sum_{i=1}^{ n } f( i )=363$, तो $n$ बराबर है
A
$6$
B
$5$
C
$7$
D
$4$
(JEE MAIN-2020)
Solution
$f(x+y)=f(x) f(y)$
put $x = y =1 \quad f(2)=(f(1))^{2}=3^{2}$
put $x=2, y=1 \quad f(3)=(f(1))^{3}=3^{3}$ :
Similarly $f(x)=3^{x}$
$\sum_{i=1}^{n} f(i)=363 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} 3^{i}=363$
$\left(3+3^{2}+\ldots+3^{n}\right)=363$
$\frac{3\left(3^{n}-1\right)}{2}=363$
$3^{n}-1=242 \Rightarrow 3^{n}=243$
$\Rightarrow n =5$
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