माना कि एक फलन f: R → R सभी x , y ∈ R के लिए f( x + y )=f(

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1.Relation and Function

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माना कि एक फलन $f: R \rightarrow R$ सभी $x , y \in R$ के लिए $f( x + y )=f( x ) f( y )$ को संतुष्ट करता है तथा $f(1)=3$ है। यदि $\sum_{i=1}^{ n } f( i )=363$, तो $n$ बराबर है

A

$6$

B

$5$

C

$7$

D

$4$

(JEE MAIN-2020)

Solution

$f(x+y)=f(x) f(y)$

put $x = y =1 \quad f(2)=(f(1))^{2}=3^{2}$

put $x=2, y=1 \quad f(3)=(f(1))^{3}=3^{3}$ :

Similarly $f(x)=3^{x}$

$\sum_{i=1}^{n} f(i)=363 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} 3^{i}=363$

$\left(3+3^{2}+\ldots+3^{n}\right)=363$

$\frac{3\left(3^{n}-1\right)}{2}=363$

$3^{n}-1=242 \Rightarrow 3^{n}=243$

$\Rightarrow n =5$

Standard 12

Mathematics

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मान लीजिए कि $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) \text { when } x \neq 0 \\ 1 \text { when } x=0 \end{array}\right\}$ और $A=\{x \in R : f(x)=1\}$. तब $A$ में क्या है ?

hard

(KVPY-2019)

$f(x)=\sin x$ द्वारा प्रदत्त फलन $f:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ तथा $g(x)=\cos x$ द्वारा प्रदत्त फलन $g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ तथा $g$ एकैकी है, परंतु $f+g$ एकैकी नहीं है।

easy

$f(x)=\frac{1}{4-x^{2}}+\log _{10}\left(x^{3}-x\right)$ द्वारा परिभाषित फलन का प्रांत है

hard

(JEE MAIN-2019)

माना $f:[2,\;2] \to R$ इस प्रकार परिभाषित है, कि $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \ \ \ -1,\,\,\,\,-2\le x\le 0\text{ } \\
& x-1,\ \ \ 0\le x\le 2\text{ } \\
\end{align} \right.$ के लिये, तब $\{ x \in ( – 2,\;2):x \le 0$ तथा $f(|x|) = x\} = $

easy

यदि शून्येतर वास्तविक संख्याएँ $b$ तथा $c$ ऐसी हैं कि $\min f(x)>\max g(x)$, जहाँ $f(x)=x^{2}+2 b x+2 c ^{2}$ तथा $g (x)=-x^{2}-2 c x+ b ^{2}(x \in R )$ हैं, तो $\left|\frac{ c }{ b }\right|$ जिस अंतराल में है, वह है

hard

(JEE MAIN-2014)