मान लें कि $x \in R$ के लिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $f(x)=\sin ^{10} x\left(\cos ^8 x+\right.$ $\left.\cos ^4 x+\cos ^2 x+1\right)$. मान लें कि $S=\left\{\lambda \in R \mid\right.$ में एक बिंदु $c \in(0,2 \pi)$ है जिसके लिए $\left.f^{\prime}(c)=\lambda f(c)\right\}$. तब

सिद्ध किजिए कि $f(1)=f(2)=1$ तथा $x>2$ के लिए $f(x)=x-1$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: N \rightarrow N ,$ आच्छादक तो है किंतु एकैकी नहीं है।

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णाक फलन $f: R \rightarrow R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $[x], x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णाक को निरूपित करता है।

माना $A =\{ a , b , c \}$ तथा $B =\{1,2,3,4\}$ हैं, तो समुच्चय $C =\{ f : A \rightarrow B \mid 2 \in f ( A )$ तथा $f$ एकैकी नहीं है $\}$ के अवयवों की संख्या है

माना $\mathrm{A}=\{1,2,3,4,5\}$ तथा $\mathrm{B}=\{1,2,3,4,5,6\}$ हैं। तो $f(1)+f(2)=f(4)-1$ को संतुष्ट करने वाले फलनों $\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ की संख्या है

यदि फलन $f(x)=\log _e\left(\frac{2 x+3}{4 x^2+x-3}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{x+2}\right) $ का प्रांत $(\alpha, \beta]$ है, तो $5 \beta-4 \alpha$ का मान बराबर है