माना 2{sin ^2}x + 3sin x - 2 > 0 और {x^2} - x - 2 < 0 ( x रेडियन म?

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1.Relation and Function

hard

माना $2{\sin ^2}x + 3\sin x - 2 > 0$ और ${x^2} - x - 2 < 0$ ($x$ रेडियन में है), तब $x$ निम्न अन्तराल में होगा

A

$\left( {\frac{\pi }{6},\;\frac{{5\pi }}{6}} \right)$

B

$\left( { - 1,\;\frac{{5\pi }}{6}} \right)$

C

$( - 1,\;2)$

D

$\left( {\frac{\pi }{6},\;2} \right)$

(IIT-1994)

Solution

(d) $2\,{\sin ^2}x + 3\,\sin x – 2 > 0$

$2\,{\sin ^2}x + 4\,\sin x – \sin x – 2 > 0$

$2\,\sin x\,(\sin x + 2) – 1\,(\sin x + 2) > 0$

$\,(\sin x + 2)\,(2\sin x – 1) > 0$

$2\,\sin x – 1 > 0\,\, \Rightarrow \,\,\sin x > 1/2$

$x > \pi /6\,\, \Rightarrow \,\,x \in \,\,(\pi /6,\,\,\infty )$…..(i)

एवं ${x^2} – x – 2 < 0\, \Rightarrow \,{x^2} – 2x + x – 2 < 0$

$x\,(x – 2) + 1\,(x – 2) < 0$

$(x + 1)\,(x – 2) < 0\, \Rightarrow \,\,x \in ( – 1,\,\,2)$…..(ii)

$(i)$ एवं $(ii)$ को मिलाने पर, $x \in (\pi /6,\,\,2)$

Standard 12

Mathematics

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किसी वास्तविक संख्या $x$ के लिए यदि $[x]$ संख्या $x$ के पूर्णांक भाग को प्रदर्शित करें तो निम्न व्यंजक का मान होगा $\left[ {\frac{1}{2}} \right] + \left[ {\frac{1}{2} + \frac{1}{{100}}} \right] + \left[ {\frac{1}{2} + \frac{2}{{100}}} \right] + …. + \left[ {\frac{1}{2} + \frac{{99}}{{100}}} \right]$

medium

(IIT-1994)

मान लें कि $N$ एक धनात्मक संख्याओं का समुच्चय हैं। सभी $n \in N$ के लिए मान लें कि

$f_n=(n+1)^{1 / 3}-n^{1 / 3}$ एवं $A=\left\{n \in N : f_{n+1}<\frac{1}{3(n+1)^{2 / 3}} < f_n\right\}$ तब

normal

(KVPY-2019)

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medium

माना $f(n)=\left[\frac{1}{3}+\frac{3 n}{100}\right] n$, जहाँ $[n]$ एक महत्तम पूणांक, जो $n$ से छोटा अथवा बराबर है, तो $\sum_{ n =1}^{56} f(u)$ बराबर है

hard

(JEE MAIN-2014)

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& \ \ \ -1,\,\,\,\,-2\le x\le 0\text{ } \\
& x-1,\ \ \ 0\le x\le 2\text{ } \\
\end{align} \right.$ के लिये, तब $\{ x \in ( – 2,\;2):x \le 0$ तथा $f(|x|) = x\} = $

easy