मान लें कि $n$ सबसे छोटा धन पूर्णांक इस प्रकार है कि $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} \geq 4$ निम्नांकित में कौन सा कथन सही है ?

असमिका ${2^{{{\log }_{\sqrt 2 }}(x - 1)}} > x + 5$ के लिए, $x$ के वास्तविक मानों का समुच्चय है

यदि ${x_n} > {x_{n - 1}} > ... > {x_2} > {x_1} > 1$हो तब ${\log _{{x_1}}}{\log _{{x_2}}}{\log _{{x_3}}}.....{\log _{{x_n}}}{x_n}^{x_{n - 1}^{{ {\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu \raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}} ^{{x_1}}}}}$का मान है

यदि $1$ से भिन्न तीन विभिन्न धनात्मक संख्यायें $a, b, c $ इस प्रकार हो कि $[{\log _b}a{\log _c}a - {\log _a}a] + [{\log _a}b{\log _c}b - {\log _b}b]$$ + [{\log _a}c{\log _b}c - {\log _c}c] = 0,$ तब $abc =$

पद $6+\log _{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{3 \sqrt{2}} \sqrt{4-\frac{1}{3 \sqrt{2}} \sqrt{4-\frac{1}{3 \sqrt{2}} \sqrt{4-\frac{1}{3 \sqrt{2}}} \ldots}}\right)$ का मान है।

$\sum\limits_{r = 1}^{89} {{{\log }_3}(\tan \,\,{r^o})} $ =