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1.Relation and Function
normal
यदि $R$ वास्तविक संख्याओं का एक समुच्चय इस प्रकार है कि $f: R \rightarrow R$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित होता है
$f(x)=\frac{[x]}{1+[x]^2}$, जहाँ $[x]$ अधिकतम पूर्णांक जो $x$ के बराबर या उससे छोटा है तथा $[x\}=x-[x]$.तब निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है ?
$I$. $f^{\prime}$ का परास $(range)$ एक बंद अन्तराल $(closed\,interval)$ है
$II$. $f, R$ पर सतत $(continuous)$ फलन है
$III$. $f$. $I$पर एकैक $(one-one)$ फलन है
A
केवल $I$
B
केवल $II$
C
केवल $III$
D
$I, II$ या $III$ में से कोई नहीं
(KVPY-2017)
Solution
(d)
We have,
$f(x) =\frac{\{x\}}{1+[x]^2}$
$\Rightarrow \quad f(x) =\frac{x-[x]}{1+[x]^2}$
Range of $f(x)=[0,1)$.
$\therefore$ Range of $f$ is semi-closed interval $f$ is discontinuous on integer.
Clearly, $f$ is not one-one function.
$\therefore$ Option $(d)$ is correct.
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