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कार्तीय तल में $C_1, C_2, \ldots, C_n$, जहां $n \geq 3$, नामक वृत्त दिये गये हैं जिनकी त्रिज्या क्रमानुसार $r_1, r_2, \ldots, r_n$ है। प्रत्येक $i$, $1 \leq i \leq n-1$ के लिए, वृत्त $C_i$ तथा $C_{i+1}$ एक दूसरे को बाह्य रूप से छूते हैं। यदि $x$-अक्ष तथा रेखा $y=2 \sqrt{2} x+10$ दोनों ही दिये गए सारे वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ है तो क्रमानुसार सूची $r_1, r_2, \ldots, r_n$
समांतर श्रेणी में है जिसका सर्वांतर $3+\sqrt{2}$ है
गुणोत्तर श्रेणी में है जिसका सार्व अनुपात $3+\sqrt{2}$ है
समांतर श्रेणी में है जिसका सर्वांतर $2+\sqrt{3}$ है
गुणोत्तर श्रेणी में है जिसका सार्व अनुपात $2+\sqrt{3}$ है
Solution
(d)
We have,
$C_1, C_2, C_3, \ldots, C_n$ be circle with radii
$r_1, r_2, \ldots, r_n$ respectively. $C_i$ and $C_{i+1}$ touch externally $X$-axis and $y=2 \sqrt{2} x+10$ are tangent of each circle.
Slope of line $y=2 \sqrt{2} x+10$ is $2 \sqrt{2}$
$\therefore \quad \tan 2 \theta =2 \sqrt{2}$
$\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta} =2 \sqrt{2}$
$\sqrt{2} \tan ^2 \theta+\tan \theta-\sqrt{2}=0$
$(\sqrt{2} \tan \theta-1)(\tan \theta+\sqrt{2}) =0$
$\tan \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \tan \theta \neq-\sqrt{2}$
$\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\operatorname{In} \Delta P Q M, \sin \theta=\frac{Q M}{P Q}$
$\Rightarrow \quad P Q=\sqrt{3} Q M \Rightarrow P Q=\sqrt{3} r_1$
$\operatorname{In} \triangle P R N$,
$\sin \theta=\frac{R N}{P R}=\frac{r_2}{P Q+r_1+r_2}=\frac{r_2}{\sqrt{3} r_1+r_1+r_2}$
$\Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r_2}{(\sqrt{3}+1) r_1+r_2}$
$\Rightarrow r_2+(\sqrt{3}+1) r_1=\sqrt{3}-r_2$
$\Rightarrow \quad \frac{r_2}{r_1}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$
$r_1, r_2, r_3$ a geometric progression with common ratio $2+\sqrt{3}$.
