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किसी दीर्घवृत $(eilipse)$ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a > b > 0$ पर $P$ एक स्वेच्छ बिन्दु $(arbitrary\,point)$ है। मान लीजिए कि $F _1$ और $F _2$ दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(foci)$ हैं। $PF _1 F _2$ त्रिभुज के केन्द्रक $(centroid)$ का बिन्दुपथ $(locus)$ जब $P$ इस दीर्घवृत्त $(ellipse)$ पर घुमता है, क्या होगा ?
वृत्त $(a\,circe)$
परवलय $(parabola)$
दीर्घवृत्त $(an\,ellipse)$
अतिपरवलय $(hyperbola)$
Solution
(c)
We have, equation of ellipse
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Point $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ lie on ellipse
Foci of ellipse $\left(F_1\right)(a e, 0)$ and $F_2(-a e, 0)$
$\therefore$ Centroid of $\triangle P F_1 F_2=\left(\frac{a \cos \theta}{3}, \frac{b \sin \theta}{3}\right)$
$\therefore \quad h=\frac{a \cos \theta}{3}, K=\frac{b \sin \theta}{3}$
$\begin{array}{l}\Rightarrow\left(\frac{3 h}{a}\right)^2+\left(\frac{3 k}{b}\right)^2=\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta \\\Rightarrow \quad \frac{9 x^2}{a^2}+\frac{9 y^2}{b^2}=1\end{array}$
which represent the locus of ellipse.
