मान लीजिए कि $r$ वास्तविक संख्या $(real\,rumber)$ है और $n \in N$ इस प्रकार है कि $2 x^2+2 x+1$ बहुपद $(x+1)^n-r$ बहुपद को विभाजित करता है तो $(a, r)$ का मान हो सकता है--

समीकरण |${x^2}$ + 4x + 3| +  2x + 5 = 0  के वास्तविक हलों की संख्या है 

मान लें कि $x, y, z$ धनात्मक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $HCF (x, y, z)=1$ तथा $x^2+y^2=2 z^2$. तब निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है ?

$I$. $4,{ }^x$ को विभाजित करता है या $4, y$ को विभाजित करता है।

$II$. $3,{ }^{x+y}$ को विभाजित करता है या $3, x-y$ को विभाजित करता है।

$III$. $5,2\left(x^2-y^2\right)$ को विभाजित करता है।

समीकरण $x^5-6 x^4+11 x^3-5 x^2-3 x+2=0$ के सभी अपूर्णांक मूलों का योग है

माना $\lambda \in \mathbb{R}$ है तथा माना समीकरण $\mathrm{E}:|\mathrm{x}|^2-2|\mathrm{x}|+|\lambda-3|=0$ है। तो समुच्चय $\mathrm{S}=\{\mathrm{x}+\lambda: \mathrm{x}, \mathrm{E}$ का एक पूर्णांक हल है $\}$ में सबसे बड़ा अवयव है______________. 

द्विघात समीकरण $n x^2+7 \sqrt{n} x+n=0$ में $n$ एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है. निम्नलिखित में कौन सा कधन निध्रित रूप से सत्य है ?

$I$. किसी भी $n$ के लिए, समीकरण के मूल भिन्न होंगे,

$II$. $n$ के अन्नत मान होंगे यदि दोनों मूल वास्तबिक है.

$III$. मूलों का गुणनफल निश्रय ही एक पूर्णांक है.