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8. Sequences and Series
hard
मान लें कि $a_n$, एक अंकगणितीय श्रेढ़ी $(arithmetic\,progression)$ है, जहाँ $n \geq 1$ है और इस श्रेढ़ी का पहला पद $2$ और सार्व अंतर $(common\,difference)$ $4$ है। मान लें कि $M_n$ पहले $n$ पदों का औसत है, तब योग $\sum \limits_{n=1}^{10} M_n$ क्या होगा ?
A
$110$
B
$335$
C
$770$
D
$1100$
(KVPY-2019)
Solution
(a)
The sum of first $n, n \geq 1$ terms of arithmetic progression with first term $2$ and common difference $4$, is
$S_n=\frac{n}{2}[4+(n-1) 4]=2 n^2$
So, the average of the first $n$ terms
$M_n=\frac{S_n}{n}=2 n$
Now, $\sum\limits_{n=1}^{10} M_n=2 \sum\limits_{n=1}^{10} n$
$=2 \times\left(\frac{10 \times 11}{2}\right)=110$
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