यदि $\frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}, a$ तथा $b$ के मध्य समांतर माध्य हो तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
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$A.M.$ of $a$ and $b$ $=\frac{a+b}{2}$
According to the given condition,
$\frac{a+b}{2}=\frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}$
$\Rightarrow(a+b)\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)=2\left(a^{n}+b^{n}\right)$
$\Rightarrow a^{n}+a b^{n-1}+b a^{n-1}+b^{n}=2 a^{n}+2 b^{n}$
$\Rightarrow a b^{n-1}+a^{n-1} b=a^{n}+b^{n}$
$\Rightarrow a b^{n-1}-b^{n}=a^{n}-a^{n-1} b$
$\Rightarrow b^{n-1}(a-b)=a^{n-1}(a-b)$
$\Rightarrow b^{n-1}=a^{n-1}$
$\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}=1=\left(\frac{a}{b}\right)^{0}$
$\Rightarrow n-1=0$
$\Rightarrow n=1$
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- [JEE MAIN 2024]
अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए
$a_{1}=a_{2}=2, a_{n}=a_{n-1}-1,$ जहाँ $n>2$
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यदि $m$ समान्तर श्रेणियों के $n$ पदों के योग क्रमश: ${S_1},\;{S_2},\;{S_3},$……${S_m}$ हैं और इनके प्रथम पद $1,\;2,\;3,$…..$,m$ और सार्वअन्तर क्रमश: $1,\;3,\;5,$……$2m - 1$ हों, तो ${S_1} + {S_2} + {S_3} + ....... + {S_m}$ का मान है
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यदि ${S_k}$ किसी समान्तर श्रेणी के $k$ पदों का योगफल है जिसके प्रथम पद एवं सार्वअन्तर क्रमश: $‘a’$ व $‘d’$ हैं, तो $\frac{{{S_{kn}}}}{{{S_n}}}$,$n$ से स्वतंत्र होगा यदि
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यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग उसके प्रथम $m$ पदों के योग के बराबर हो $(m \ne n)$, तो उसके $(m + n)$ पदों का योग होगा
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