यदि $\frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}, a$ तथा $b$ के मध्य समांतर माध्य हो तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
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$A.M.$ of $a$ and $b$ $=\frac{a+b}{2}$
According to the given condition,
$\frac{a+b}{2}=\frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}$
$\Rightarrow(a+b)\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)=2\left(a^{n}+b^{n}\right)$
$\Rightarrow a^{n}+a b^{n-1}+b a^{n-1}+b^{n}=2 a^{n}+2 b^{n}$
$\Rightarrow a b^{n-1}+a^{n-1} b=a^{n}+b^{n}$
$\Rightarrow a b^{n-1}-b^{n}=a^{n}-a^{n-1} b$
$\Rightarrow b^{n-1}(a-b)=a^{n-1}(a-b)$
$\Rightarrow b^{n-1}=a^{n-1}$
$\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}=1=\left(\frac{a}{b}\right)^{0}$
$\Rightarrow n-1=0$
$\Rightarrow n=1$
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$p , q \in R , q > 0$, के लिए वास्तविक मान फलन $f ( x )=( x - p )^2- q , x \in R$ का विचार कीजिए। माना $a _1, a _2, a _3$ तथा $a _4$ एक धनात्मक सार्व अंतर की संमातर श्रेढ़ी में हैं तथा इनका माध्य $p$ है। यदि $i=1,2,3,4$ के लिए $\left|f\left(a_i\right)\right|=500$ है, तो $f ( x )=0$ के मूलों का निरपेक्ष अंतर है $...........$
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यदि $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
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दी गई परिभाषाओं के आधार पर निम्नलिखित प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम तीन पद बताइए
$a_{n}=2 n+5$
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यदि $f(x + y,x - y) = xy\,,$ तब $f(x,y)$ और $f(y,x)$ का समांतर माध्य होगा
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यदि $x_{1}, x_{2}, \ldots ., x_{n}$ तथा $\frac{1}{h_{1}}, \frac{1}{h_{2}}, \ldots ., \frac{1}{h_{n}}$ दो ऐसी समांतर श्रेढियां हैं कि $x_{3}=h_{2}=8$ तथा $x_{8}=h_{7}=20$ है, तो $x_{5} . h_{10}$ का मान है
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