यदि $x, y, z$ धनात्मक वास्तविक संख्या हैं, तो निम्नलिखित में से कौन से समीकरण $x=y=z$ को संकेत करते हैं ?

$I.$ $x^3+y^3+z^3=3 x y z$

$II.$ $x^3+y^2 z+y z^2=3 x y z$

$III.$ $x^3+y^2 z+z^2 x=3 x y z$

$IV.$ $(x+y+z)^3=27 x y z$

माना $p , q$ तथा $r ,( p \neq q , r \neq 0)$, वास्तविक संख्याएँ ऐसी हैं कि समीकरण $\frac{1}{x+ p }+\frac{1}{x+ q }=\frac{1}{ r }$ के मूल बराबर तथा विपरीत चिन्हों के हैं, तो इन मूलों के वर्गों का योगफल बराबर है

समीकरण $\mathrm{e}^{\sin x}-2 \mathrm{e}^{-\sin x}=2$ के हलों की संख्या है

समीकरण $e ^{4 x }+ e ^{3 x }-4 e ^{2 x }+ e ^{ x }+1=0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है

माना कि $f(x)=x^4+a x^3+b x^2+c$ वास्तविक गुणांकों (real coefficients ) वाला एक ऐसा बहुपद (polynomial) है कि $f(1)=-9$ है। मान लीजिये कि $i \sqrt{3}$, समीकरण $4 x^3+3 a x^2+2 b x=0$ का एक मूल है, जहां $i=\sqrt{-1}$ है। यदि $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, और $\alpha_4$, समीकरण $f(x)=0$ के सभी मूल हैं, तब $\left|\alpha_1\right|^2+\left|\alpha_2\right|^2+\left|\alpha_3\right|^2+\left|\alpha_4\right|^2$ का मान. . . . . है।

समीकरण $x ^7-7 x -2=0$ के विभिन्न वास्तविक मूलों की संख्या होगी