सभी वास्तविक संख्याओं x का वह समुच्चय जिसके ल | vedclass

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Question

(b) स्थिति I:  जब $x + 2 \ge 0$ अर्थात् $x \ge  - 2,$

तब यह सर्वसमिका होगी

${x^2} - (x + 2) + x > 0$   $&rArr; {x^2}

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$( - \infty ,\,\, - \sqrt 2 )\, \cup (\sqrt 2 ,\,\infty )$

Vedclass · Answer

(b) स्थिति I:  जब $x + 2 \ge 0$ अर्थात् $x \ge  - 2,$

तब यह सर्वसमिका होगी

${x^2} - (x + 2) + x > 0$   $&rArr; {x^2} - 2 > 0 \Rightarrow \,\,|x|\, > \sqrt 2 $

$\Rightarrow$  $x <  - \sqrt 2 $ या $x > \sqrt 2 $

$\because$ $x \ge  - 2,$ अत: इस स्थिति में हल समुच्चय का भाग $[ - 2, - \sqrt 2 ) \cup (\sqrt 2 ,\infty )$ होगा।

स्थिति II: जब $x + 2 \le 0$ अर्थात् $x \le  - 2,$

तब दी हुयी सर्वसमिका ${x^2} + (x + 2) + x > 0$ होगी

$ \Rightarrow {x^2} + 2x + 2 > 0$$ \Rightarrow {(x + 1)^2} + 1 > 0,$ जोकि सभी वास्तविक $x$ के लिए सत्य है।

अत: इस स्थिति में हल समुच्चय का भाग $( - \infty , - 2]$ होगा। दोनों परिणामों को मिलाने पर हल

$( - \infty , - 2) \cup ([ - 2, - \sqrt 2 ] \cup (\sqrt 2 ,\infty )$$ = ( - \infty , - \sqrt 2 ) \cup (\sqrt 2 ,\infty )$ है।

सभी वास्तविक संख्याओं $x$ का वह समुच्चय जिसके लिये ${x^2} - |x + 2| + x > 0,$ होगा

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