माना एक न्याय पासे को फेंकने पर प्राप्

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

माना एक न्याय पासे को फेंकने पर प्राप्त संख्या $N$ है यदि समीकरण निकाय $x+y+z=1$ ; $2 x+N y+2 z=2$ ; $3 x+3 y+N z=3$ के अद्वितीय हल होने की प्रायिकता $\frac{k}{6}$ है, तो $k$ तथा $N$ के सभी संभव मानों का योग है

A

$18$

B

$19$

C

$20$

D

$21$

(JEE MAIN-2023)

Solution

$x+y+z=1$

$2 x+N y+2 z=2$

$3 x+3 y+N z=3$

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\2 & N & 2 \\3 & 3 & N\end{array}\right| =( N -2)( N -3)$For unique solution $\Delta \neq 0$

So $N \neq 2,3$

$\Rightarrow P ($ system has unique solution $)=\frac{4}{6}$

So $k =4$

Therefore sum $=4+1+4+5+6=20$

Standard 12

Mathematics

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माना $[\lambda]$ महत्तम पूर्णांक $\leq \lambda$ हैं। $\lambda$ के सभी मानों, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z =4$, $3 x +2 y +5 z =3,9 x +4 y +(28+[\lambda]) z =[\lambda]$ का हल है, का समुच्चय है

hard

(JEE MAIN-2021)

समीकरण के निकाय ${x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = a\ \ ;\ \ 2{x_1} + 3{x_2} + {x_3} =b\ \ ;\ \ $ $3{x_1} + {x_2} + 2{x_3} = c$ का हल होगा

medium

यदि $a,b,c$ धनात्मक वास्तविक संख्यायें हैं, तो $x, y $ और $z$ में निम्नलिखित समीकरण निकाय

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} – \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1$, $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1, – \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1$

hard

(IIT-1995)

$\lambda$ के उन भिन्न मानों का योग, जिनके लिए समीकरण निकाय

$(\lambda-1) x +(3 \lambda+1) y +2 \lambda z =0$

$(\lambda-1) x +(4 \lambda-2) y +(\lambda+3) z =0$

$2 x +(3 \lambda+1) y +3(\lambda-1) z =0$ के शून्येतर (non-zero) हल हैं, है

hard

(JEE MAIN-2020)

सारणिक$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{1 – x}&1\\1&1&{1 + y}\end{array}\,} \right|$ का मान है

medium