माना एक न्याय पासे को फेंकने पर प्राप्त संख्या $N$ है यदि समीकरण निकाय $x+y+z=1$  ;   $2 x+N y+2 z=2$  ;  $3 x+3 y+N z=3$ के अद्वितीय हल होने की प्रायिकता $\frac{k}{6}$ है, तो $k$ तथा $N$ के सभी संभव मानों का योग है

यदि $a,b,c$ धनात्मक हैं तथा सभी बराबर नहीं हैं, तब सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{array}\,} \right|$ का मान है  

सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\alpha - \beta )}&{\cos \alpha }\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos \beta }\\{\cos \alpha }&{\cos \beta }&1\end{array}\,} \right|$ का मान होगा

सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1&1\\1&{ - 1}&1\\1&1&{ - 1}\end{array}\,} \right|$ का मान है

माना $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{6i}&{ - 3i}&1\\4&{3i}&{ - 1}\\{20}&3&i\end{array}\,} \right| = x + iy$, तो

समीकरण  $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&2&{ - 1}\\2&5&x\\{ - 1}&2&x\end{array}\,} \right| = 0$ के हल होंगे