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3 and 4 .Determinants and Matrices
hard
माना सभी $\mathrm{a} \in \mathrm{R}-\{0\}$, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $a x+2 a y-3 a z=1$
$ (2 a+1) x+(2 a+3) y+(a+1) z=2 $
$ (3 a+5) x+(a+5) y+(a+2) z=3$
का केवल एक हल है तथा अनंत हल है, के समुच्चय क्रमशः $S_1$ तथा $S_2$ है। तो
A
$n\left(\mathrm{~S}_1\right)=2$ तथा $\mathrm{S}_2$ एक अपरिमित समुच्चय है।
B
$S_1$ एक अंपरिमित समुच्चय है तथा $n\left(S_2\right)=2$ है।
C
$\mathrm{S}_1=\Phi$ तथा $\mathrm{S}_2=\mathbb{R}-\{0\}$
D
$S_1=\mathbb{R}-\{0\}$ तथा $S_2=\Phi$
(JEE MAIN-2023)
Solution
$\begin{array}{l}\Delta=\left|\begin{array}{lll}a & 2 a & -3 a \\ 2 a+1 & 2 a+3 & a+1 \\ 3 a+5 & a+5 & a+2\end{array}\right| \\ =a\left(15 a^2+31 a+36\right)=0 \Rightarrow a=0 \\ \Delta \neq 0 \text { for all } a \in R-\{0\} \\ \text { Hence } S_1=R-\{0\} \quad S_2=\Phi\end{array}$
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