- Home
- Standard 12
- Mathematics
ધારોકે $A, B, C$ એવા $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે કે જ્યાં $A$ સંમિત તથા $B$ અને $C$ વિસંમિત છે.નીચેના વિધાનો ધ્યાને લો.
$(S1)$ $A ^{13} B ^{26}- B ^{26} A ^{13}$ સંમિત છે.
$(S2)$ $A ^{26} C ^{13}- C ^{13} A ^{26}$ સંમિત છે.
તો
ફક્ત $S2$ સાચું છે
ફક્ત $S1$ સાચું છે
$S1$ અને $S2$ બંને ખોટા છે.
$S1$ અને $S2$ બંને સાચાં છે.
Solution
Given, $A^T=A, B^T=-B, C^T=-C$
Let $M=A^{13} B^{26}-B^{26} A^{13}$
Then, $M^T=\left(A^{13} B^{26}-B^{26} A^{13}\right)^{ T }$
$=\left(A^{13} B^{26}\right)^T-\left(B^{26} A^{13}\right)^{ T }$
$=\left(B^{ T }\right)^{26}\left(A^{ T }\right)^{13}-\left(A^{ T }\right)^{13}\left( B ^{ T }\right)^{26}$
$= B ^{26} A ^{13}- A ^{13} B ^{26}=- M$
Hence, $M$ is skew symmetric
Let, $N = A ^{26} C ^{13}- C ^{13} A ^{26}$
then, $N^{ T }=\left( A ^{26} C ^{13}\right)^{ T }-\left( C ^{13} A ^{26}\right)^{ T }$ $=-(C)^{13}(A)^{26}+A^{26} C^{13}=N$
Hence, $N$ is symmetric.
$\therefore$ Only $S2$ is true.
