- Home
- Standard 11
- Mathematics
ધારો કે $(1+x)^{99}$ના વિસ્તરણમાં $x$ની અયુગ્મ ઘાતોના સહગુણકોનો સરવાળો $K$ છે. ધારો કે $\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{200}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ ' $a$' છે. જો $\frac{200_{C_99} K}{a}=\frac{2^\ell m}{n}$ હોય, જ્યાં $m$ અને $n$ અયુગ્મ સંખ્યાઓ હોય, તો ક્રમયુક્ત જોડ $(l, n )=..........$
$(50,51)$
$(51,99)$
$(50,101)$
$(51,101)$
Solution
In the expansion of
$(1+ x )^{99}= C _0+ C _1 x + C _2 x ^2+\ldots+ C _{99} x ^{99}$
$K = C _1+ C _3+\ldots . .+ C _{99}=2^{98}$
$a$ Middle in the expansion of $\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{200}$
$\frac{T_{200}}{2}+1 ={ }^{200} C _{100}(2)^{100}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{100}$
$={ }^{200} C _{100} \cdot 2^{50}$
So, $\frac{{ }^{200} C _{99} \times 2^{98}}{{ }^{900} C _{100} \times 2^{50}}=\frac{100}{101} \times 2^{48}$
So, $\frac{25}{101} \times 2^{50}=\frac{ m }{ n } 2^{\prime}$
$\therefore m , n$ are odd so
$(\ell, n )$ become $(50,101)$ Ans.
