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माना $(1+\mathrm{x})^{99}$ के प्रसार में $\mathrm{x}$ की विषम घातो के गुणांको का योग $\mathrm{K}$ है। माना $\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{200}$ के प्रसार में मध्य पद $\mathrm{a}$ है। यदि $\frac{{ }^{200} \mathrm{C}_{99} \mathrm{~K}}{\mathrm{a}}=\frac{2^{\ell} \mathrm{m}}{\mathrm{n}}$, है। जहाँ $\mathrm{m}$ तथा $\mathrm{n}$ विषम संख्याएँ हैं तो क्रमित युग्म $(\ell, \mathrm{n})$ बराबर है।
$(50,51)$
$(51,99)$
$(50,101)$
$(51,101)$
Solution
In the expansion of
$(1+ x )^{99}= C _0+ C _1 x + C _2 x ^2+\ldots+ C _{99} x ^{99}$
$K = C _1+ C _3+\ldots . .+ C _{99}=2^{98}$
$a$ Middle in the expansion of $\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{200}$
$\frac{T_{200}}{2}+1 ={ }^{200} C _{100}(2)^{100}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{100}$
$={ }^{200} C _{100} \cdot 2^{50}$
So, $\frac{{ }^{200} C _{99} \times 2^{98}}{{ }^{900} C _{100} \times 2^{50}}=\frac{100}{101} \times 2^{48}$
So, $\frac{25}{101} \times 2^{50}=\frac{ m }{ n } 2^{\prime}$
$\therefore m , n$ are odd so
$(\ell, n )$ become $(50,101)$ Ans.
