माना दो सम्मिश्र संख्याओं mathrm{z}₁ तथा mathrm{

English

Gujarati

Hindi

4-1.Complex numbers

hard

माना दो सम्मिश्र संख्याओं $\mathrm{z}_1$ तथा $\mathrm{z}_2$ के लिए $z_1+z_2=5$ तथा $z_1^3+z_2^3=20+15 i$ है तो $\left|z_1^4+z_2^4\right|$ बराबर है -

$30 \sqrt{3}$

$75$

$15 \sqrt{15}$

$25 \sqrt{3}$

(JEE MAIN-2024)

Solution

$z_1+z_2=5$

$z_1^3+z_2^3=20+15 i$

$z_1^3+z_2^3=\left(z_1+z_2\right)^3-3 z_1 z_2\left(z_1+z_2\right)$

$z_1^3+z_2^3=125-3 z_1 \cdot z_2(5)$

$\Rightarrow 20+15 i=125-15 z_1 z_2$

$\Rightarrow 3 z_1 z_2=25-4-3 i$

$\Rightarrow 3 z_1 z_2=21-3 i$

$\Rightarrow z_1 \cdot z_2=7-i$

$\Rightarrow\left(z_1+z_2\right)^2=25$

$\Rightarrow z_1^2+z_2^2=25-2(7-i)$

$\Rightarrow 11+2 i$

$\left(z_1^2+z_2^2\right)^2=121-4+44 i$

$\Rightarrow z_1^4+z_2^4+2(7-i)^2=117+44 i$

$\Rightarrow z_1^4+z_2^4=117+44 i-2(49-1-14 i)$

$\Rightarrow\left|z_1^4+z_2^4\right|=75$

Standard 11

Mathematics

$\left| {\frac{1}{2}({z_1} + {z_2}) + \sqrt {{z_1}{z_2}} } \right| + \left| {\frac{1}{2}({z_1} + {z_2}) – \sqrt {{z_1}{z_2}} } \right|$ =

easy

यदि $\alpha $ व $\beta $ भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $|\beta | = 1$, तब $\left| {\frac{{\beta – \alpha }}{{1 – \alpha \beta }}} \right|$ =

medium

(IIT-1992)

यदि $z =2+3 i$ है, तो $z ^5+(\overline{ z })^5$ बराबर है:

medium

(JEE MAIN-2022)

यदि ${z_1} = a + ib$ व ${z_2} = c + id$ सम्मिश्र संख्यायें इस प्रकार हैं कि $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$ व $R({z_1}\overline {{z_2}} ) = 0,$ तो सम्मिश्र संख्याओं का युग्म ${w_1} = a + ic$ व ${w_2} = b + id$ संतुष्ट करता है

hard

(IIT-1985)

यदि $z = \frac{{ – 2}}{{1 + \sqrt 3 \,i}}$, तो $arg\,(z)$का मान