- Home
- Standard 12
- Mathematics
ધારો કે $A=I_2-2 M^T$, જ્યાં $M$ એ $2 \times 1$ કક્ષાનો એવો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે કે જેથી $M^T M=I_1$ નું પાલન થાય. ને $\lambda$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા હોય કે જેથી કોઈ $2 \times 1$ કક્ષાના શૂન્યેતર વાસ્તવિક શ્રેણિક $X$ માટે સંબંધ $A X=\lambda X$ નું પાલન થાય, તો $\lambda$ ની શક્ય તમામ કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો___________છે.
$1$
$2$
$3$
$4$
Solution
$ \mathrm{A}=\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} $
$ \mathrm{A}^2=\left(\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}\right)\left(\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}\right) $
$ =\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}+4 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} $
$ =\mathrm{I}_2-4 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}+4 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} $
$ =\mathrm{I}_2 $
$ \mathrm{AX}=\lambda \mathrm{X} $
$ \mathrm{A}^2 \mathrm{X}=\lambda \mathrm{AX}$
$ \mathrm{X}=\lambda(\lambda \mathrm{X}) $
$ \mathrm{X}=\lambda^2 \mathrm{X} $
$\mathrm{X}\left(\lambda^2-1\right)=0 $
$ \lambda^2=1 $
$ \lambda= \pm 1$
Sum of square of all possible values $=2$
