माना कि $\alpha, \beta$ एवं $\gamma$ वास्तविक संख्याएं (real numbers) हैं। निम्न रैखिक समीकरण निकाय (system of linear equations) पर विचार कीजिए।

$x+2 y+z=7$

$x+\alpha z=11$

$2 x-3 y+\beta z=\gamma$

List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-$II$ की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।

List - $I$ List - $II$
($P$)यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के) ($1$) क अद्वितीय हल (unique solution) है
($Q$)यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के) ($2$)कोई हल नहीं है

($R$) Iयदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के)

($3$)अनंत हल हैं
($S$) यदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के) ($4$) $x=11, y=-2$ एवं $z=0$ एक हल है
  ($5$) $x=-15, y=4$ एवं $z=0$ एक हल है

सही विकल्प है:

  • [IIT 2023]
  • A

    $(\mathrm{P}) \rightarrow(3)(\mathrm{Q}) \rightarrow(2)(\mathrm{R}) \rightarrow(1)(\mathrm{S}) \rightarrow(4)$

  • B

    $(P) \rightarrow (3) (Q) \rightarrow (2) (R) \rightarrow (5) (S) \rightarrow (4)$

  • C

    $(P) \rightarrow (2) (Q) \rightarrow (1) (R) \rightarrow (4) (S) \rightarrow (5)$

  • D

    $(\mathrm{P}) \rightarrow(2)(\mathrm{Q}) \rightarrow(1)(\mathrm{R}) \rightarrow(1)(\mathrm{S}) \rightarrow(3)$

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यदि $|A| $ तीसरे क्रम के वर्ग आव्यूह   $A$  के सारणिक के मान को निरुपित करता हो, तो $ |-2A|$=

सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{b + c}\\1&b&{c + a}\\1&c&{a + b}\end{array}\,} \right|$ का मान है

सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए:

$\left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0\end{array}\right|$

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{{({a^x} + {a^{ - x}})}^2}}&{{{({a^x} - {a^{ - x}})}^2}}&1\\{{{({b^x} + {b^{ - x}})}^2}}&{{{({b^x} - {b^{ - x}})}^2}}&1\\{{{({c^x} + {c^{ - x}})}^2}}&{{{({c^x} - {c^{ - x}})}^2}}&1\end{array}\,} \right| = $

यदि $S\, 'b'$ की उन विभिन्न मानों का समुच्चय है जिनके लिए निम्न रैखिक समीकरण निकाय

$x+y+z=1$

$x+a y+z=1$

$a x+b y+z=0$

का कोई हल नहीं है, तो $S$ :

  • [JEE MAIN 2017]