$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&4&{y + z}\\y&4&{z + x}\\z&4&{x + y}\end{array}\,} \right| = $

यदि $1,\omega ,{\omega ^2}$ इकाई के घनमूल हैं, तब $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}\\{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}&1\\{{\omega ^{2n}}}&1&{{\omega ^n}}\end{array}\,} \right|$ का मान होगा

यदि $x = cy + bz,\,\,y = az + cx,\,\,z = bx + ay$ (जहाँ $ x, y, z$ सभी शून्य नहीं हैं) का $x = 0$,$y = 0$,$z = 0$ के अतिरिक्त भी कोई हल है, तो  $a, b $ और $ c$  में सम्बन्ध है

सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}2&8&4\\{ – 5}&6&{ – 10}\\1&7&2\end{array}\,} \right|$ का मान है 

माना $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{10}$ गुणोत्तर श्रेणी में है जिसमें $i =1,2, \ldots, 10$ के लिये $a _{ i }>0$ है तथा युग्मों $( r , k ), r , k \in N$ (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) का समुच्चय $S$ है जिसके लिये $\left|\begin{array}{lll}\log _{ e } a_{1}^{ r } a _{2}^{ k } & \log _{ e } a _{2}^{ r } a _{3}^{ k } & \log _{ e } a _{3}^{ r } a _{4}^{ k } \\ \log _{ e } a _{4}^{ r } a _{5}^{ k } & \log _{ e } a _{5}^{ r } a _{6}^{ k } & \log _{ e } a _{6}^{ r } a _{7}^{ k } \\ \log _{ e } a _{7}^{ r } a _{8}^{ k } & \log _{ e } a _{8}^{ r } a _{9}^{ k } & \log _{ e } a _{9}^{ r } a _{10}^{ k }\end{array}\right|=0$ है। तब $S$ में अवयवों की संख्या होगी