- Home
- Standard 12
- Mathematics
माना कि $S$ उन सभी स्तम्भ आव्यूहों (column matrices) $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right]$ का समुच्चय (set) है जिनके लिए $b_1, b_2, b_3 \in R$ और वास्तविक चरों (real variables) वालें समीकरण निकाय (system of equations)
$-x+2 y+5 z=b_1$ ; $2 x-4 y+3 z=b_2$ ; $x-2 y+2 z=b_3$
का कम से कम एक हल (solution) है। तब निम्नलिखित वास्तविक चरों वाले निकायों में से किस (कौन
से) निकाय (निकायों) का भी प्रत्येक $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right] \in S$ के लिए कम से कम एक हल है?
$(A)$ $x+2 y+3 z=b_1, 4 y+5 z=b_2$ ओर $x+2 y+6 z=b_3$
$(B)$ $x+y+3 z=b_1, 5 x+2 y+6 z=b_2$ ओर $-2 x-y-3 z=b_3$
$(C)$ $-x+2 y-5 z=b_1, 2 x-4 y+10 z=b_2$ ओर $x-2 y+5 z=b_3$
$(D)$ $x+2 y+5 z=b_1, 2 x+3 z=b_2$ ओर $x+4 y-5 z=b_3$
$A,C,D$
$A,C,B$
$A,C$
$A,D$
Solution
For atleast one solution, either $\Delta \neq 0$ or $\Delta=\Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=0$.
$\begin{aligned} \Delta & =\left|\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 5 \\ 2 & -4 & 3 \\ 1 & -2 & 2\end{array}\right|=0 \\ \Delta_1 & =\left|\begin{array}{ccc}b_1 & 2 & 5 \\ b_2 & -4 & 3 \\ b_3 & -2 & 2\end{array}\right|=0 \Rightarrow b_1+7 b_2-13 b_3=0 \\ \Delta_2 & =\left|\begin{array}{ccc}-1 & b_1 & 5 \\ 2 & b_2 & 3 \\ 1 & b_3 & 2\end{array}\right|=0 \quad \Rightarrow b_1+7 b_2-13 b_3=0\end{aligned}$
Also, $\Delta_3=0$
For option $(A)$, $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 6\end{array}\right|=12 \neq 0$, so unique solution.
For option $(B)$, $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3\end{array}\right|=0, \Delta_1=0, \Delta_2=\left|\begin{array}{ccc}1 & b_1 & 3 \\ 5 & b_2 & 6 \\ -2 & b_3 & -3\end{array}\right|=3\left(b_1+b_2+3 b_3\right) \neq 0$
So no solution.
For option $( C ), \Delta=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -5 \\ 2 & -4 & 10 \\ 1 & -2 & 5\end{array}\right|=0$
Also, $\Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=0$. So, infinitely many solution.
For option $(D)$, $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & -5\end{array}\right|=54 \neq 0$, so unique solution.
Hence $(A), (C), (D)$ are correct.
Similar Questions
माना कि $p, q$ एवं $r$ शून्येतर वास्तविक संख्यायें (nonzero real numbers) है जो एक हरात्मक श्रेढ़ी (harmonic progression) के क्रमश: $10$ वाँ, $100$ वाँ एवं $1000$ वाँ पद (terms) है। रैखिक समीकरणों के निकाय (system of linear equations)
$x+y+z=1$
$10 x+100 y+1000 z=0$
$q r x+p r y+p q z=0$.
पर विचार कीजिए।
$List-I$ | $List-II$ |
($I$) यदि $\frac{ q }{ r }=10$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का | ($P$) हल $x=0, y=\frac{10}{9}, z=-\frac{1}{9}$ हैं |
($II$)यदि $\frac{ p }{ r } \neq 100$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का | ($Q$) हल $x =\frac{10}{9}, y =-\frac{1}{9}, z =0$ हैं |
($III$)यदि $\frac{ p }{ q } \neq 10$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का | ($R$) अनंत हल (infinitely many solutions) है |
($IV$) यदि $\frac{ p }{ q }=10$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का | ($S$) कोई हल नहीं (no solution) है |
($T$) कम से कम एक हल (at least one solution) है |
सही विकल्प हैं