माना सभी सम्मिश्र संख्याओं z का समुच्चय S है | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

$\left|z^2+z+1\right|=1$

$\Rightarrow  \left|\left(z+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right|=1$

$\Rightarrow  \left|\left(z+\frac{1}{2

Vedclass · Accepted Answer

$B,C$

Vedclass · Answer

$\left|z^2+z+1ight|=1$

$\Rightarrow  \left|\left(z+\frac{1}{2}ight)^2+\frac{3}{4}ight|=1$

$\Rightarrow  \left|\left(z+\frac{1}{2}ight)^2+\frac{3}{4}ight| \leq\left|z+\frac{1}{2}ight|^2+\frac{3}{4}$

$\Rightarrow  1 \leq\left|z+\frac{1}{2}ight|^2+\frac{3}{4} \Rightarrow\left|\left(z+\frac{1}{2}ight)ight|^2 \geq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow  \left|z+\frac{1}{2}ight| \geq \frac{1}{2}$

$	ext { also }  \left|\left(z^2+zight)+1ight|=1 \geq|| z^2+z|-1|$

$\Rightarrow  \left|z^2+zight|-1 \leq 1$

$\Rightarrow  \left|z^2+zight| \leq 2$

$\Rightarrow  \left\|z^2|-| zight\| \leq\left|z^2+zight| \leq 2$

$\Rightarrow  \left|r^2-right| \leq 2$

$\Rightarrow  \quad r =|z| \leq 2 ; \forall z \in S$

Also we can always find root of the equation $z^2+z+1=e^{i 	heta} ; \forall 	heta \in R$

Hence set ' $S$ ' is infinite

Similar Questions

$\left| {(1 + i)\frac{{(2 + i)}}{{(3 + i)}}} \right| = $

$\left( {\frac{{3 + 2i}}{{3 - 2i}}} \right)$ का मापांक होगा

माना दो सम्मिश्र संख्याओं $\mathrm{z}_1$ तथा $\mathrm{z}_2$ के लिए $z_1+z_2=5$ तथा $z_1^3+z_2^3=20+15 i$ है तो $\left|z_1^4+z_2^4\right|$ बराबर है -

यदि ${z_1}$ तथा ${z_2}$दो अशून्य सम्मिश्र संख्याएँ ऐसी हों कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$ हो, तब कोणांक $({z_1}) - $कोणांक $({z_2})$ का मान है