निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं का मापांक एवं कोणांक ज्ञात कीजिए।
$\frac{1}{1+i}$
निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं का मापांक एवं कोणांक ज्ञात कीजिए।
$\frac{1}{1+i}$
We have $\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{1+1}=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$
Let $\frac{1}{2}=r \cos \theta,-\frac{1}{2}=r \sin \theta$
Proceeding as in part $(i)$ above, we get $r=\frac{1}{\sqrt{2}} ; \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \theta=\frac{-1}{\sqrt{2}}$
Therefore $\theta=\frac{-\pi}{4}$
Hence, the modulus of $\frac{1}{1+i}$ is $\frac{1}{\sqrt{2}},$ argument is $\frac{-\pi}{4}$.
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$\mathrm{a} \in \mathrm{C}$ के लिए, माना
$\mathrm{A}=\{\mathrm{z} \in \mathrm{C}: \operatorname{Re}(\mathrm{a}+\overline{\mathrm{z}})>\operatorname{Im}(\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{z})\}$ तथा
$B=\{z \in C: \operatorname{Re}(a+\bar{z})<\operatorname{Im}(\bar{a}+z)\}$ हैं। तो दो कथनों :
$(S1)$ : यदि $\operatorname{Re}(\mathrm{A}), \operatorname{Im}(\mathrm{A})>0$ है, तो सभी वास्तविक संख्याएँ $A$ में हैं
$(S2)$ : यदि $\operatorname{Re}(\mathrm{A}), \operatorname{Im}(\mathrm{A})<0$ हैं, तो सभी वास्तविक संख्याएँ $\mathrm{B}$ में हैं
इनमें से
$\mathrm{a} \in \mathrm{C}$ के लिए, माना
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इनमें से
- [JEE MAIN 2023]
यदि ${z_1}$व${z_2}$दो सम्मिश्र संख्यायें इस प्रकार हों कि ${z_1} \ne {z_2}$ एवं $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|$. यदि ${z_1}$में धनात्मक वास्तविक भाग है एवं ${z_2}$ में ऋणात्मक काल्पनिक भाग है, तो $\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} - {z_2})}}$हो सकता है
यदि ${z_1}$व${z_2}$दो सम्मिश्र संख्यायें इस प्रकार हों कि ${z_1} \ne {z_2}$ एवं $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|$. यदि ${z_1}$में धनात्मक वास्तविक भाग है एवं ${z_2}$ में ऋणात्मक काल्पनिक भाग है, तो $\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} - {z_2})}}$हो सकता है
- [IIT 1986]
यदि ${z_1},{z_2} \in C$, तो कोणांक $\left( {\frac{{{{\rm{z}}_{\rm{1}}}}}{{{{{\rm{\bar z}}}_{\rm{2}}}}}} \right) = $
यदि ${z_1},{z_2} \in C$, तो कोणांक $\left( {\frac{{{{\rm{z}}_{\rm{1}}}}}{{{{{\rm{\bar z}}}_{\rm{2}}}}}} \right) = $
निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं का मापांक एवं कोणांक ज्ञात कीजिए।
$\frac{1+i}{1-i}$
निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं का मापांक एवं कोणांक ज्ञात कीजिए।
$\frac{1+i}{1-i}$
यदि $\frac{ z -\alpha}{ z +\alpha}(\alpha \in R )$ एक शुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या है, तथा $| Z |=2$ है, तो $\alpha$ का एक मान है
यदि $\frac{ z -\alpha}{ z +\alpha}(\alpha \in R )$ एक शुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या है, तथा $| Z |=2$ है, तो $\alpha$ का एक मान है
- [JEE MAIN 2019]