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माना कि $l_1, l_2, \ldots, l_{100}$ सार्वअंतर (common difference) $d_1$ वाली एक समांतर श्रेढ़ी (arithmetic progression) के क्रमागत पद (consecutive terms) हैं, एवं माना कि $w_1, w_2, \ldots, w_{100}$ सार्वअंतर (common difference) $d_2$ वाली एक दूसरी समांतर श्रेढ़ी (arithmetic progression) के क्रमागत पद है जहाँ $d_1 d_2=10$ है। प्रत्येक $i=1$, $2, \ldots, 100$ के लिए, माना कि $R_i$ एक आयत (rectangle) है जिसकी लम्बाई $l_i$, चौड़ाई $w_i$ एवं क्षेत्रफल $A_i$ है। यदि $A_{51}-A_{50}=1000$ है तब $A_{100}-A_{90}$ का मान . . . . . .है।
$18900$
$18901$
$18902$
$18903$
Solution
Given
$A _{51}- A _{50}=1000 \Rightarrow \ell_{S 1} w _{ S1 }-\ell_{50} w _{S 0}=1000$
$\Rightarrow\left(\ell_1+50 d _1\right)\left( w _1+50 d _2\right)-\left(\ell_1+49 d _1\right)\left( w _1+49 d _2\right)=1000$
$\Rightarrow\left(\ell_1 d _2+ w _1 d _1\right)=10$
(As $d _1 d _2=10$ )
$\therefore A _{100}- A _{90}=\ell_{100} w _{100}-\ell_{90} w _{90}$
$=\left(\ell_1+99 d _1\right)\left( w _1+99 d _2\right)-\left(\ell_1+89 d _1\right)\left( w _1+89 d _2\right)$
$=10\left(\ell_1 d _2+ w _1 d _1\right)+\left(99^2-89^2\right) d _1 d _2$
$=10(10)+\frac{(99-89)}{-10}(99+89)(10)$
$\left(\text { As, } d_1 d_2=10\right)$
$=100(1+188)=100(189)$
$=18900$
