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माना $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनायें हैं। दोनों के एक साथ होने की प्रायिकता $1/6$ और दोनों के न होने की प्रायिकता $1/3$ है, तब $A$ के होने की प्रायिकता है
$0$ या $1$
$\frac{1}{2}$ या $\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$ या $\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$ या $\frac{1}{4}$
Solution
(b) $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ व $P({A^c} \cap {B^c}) = \frac{1}{3}$
चूँकि $P{(A \cup B)^c} = P({A^c} \cap {B^c}) = \frac{1}{3}$
$⇒$ $1 – P(A \cup B) = \frac{1}{3}$$ \Rightarrow \,P(A \cup B) = \frac{2}{3}$
लेकिन $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
$ \Rightarrow P(A)\, + P(B) = \frac{5}{6}$…..$(i)$
$\because$ $A$ तथा $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$\therefore$ $P(A \cap B)\, = \,P(A)\,P(B) ⇒ P(A)\,P(B) = \frac{1}{6}$
${[P(A)\, – \,P(B)\,]^2} = {[P(A) + P(B)]^2} – 4P(A)\,P(B)$
$ = \frac{{25}}{{36}} – \frac{4}{6} = \frac{1}{{36}}$
$ \Rightarrow $ $P(A) – P(B) = \pm \,\frac{1}{6}$$……(ii)$
$(i)$ व $(ii)$ को हल करने पर $P(A) = \frac{1}{2}$ या $\frac{1}{3}.$
