- Home
- Standard 11
- Mathematics
જો ${s_1} = \mathop \sum \limits_{j = 1}^{10} j\left( {j - 1} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\j\end{array}} \right)\;,$$\;{s_2} = \mathop \sum \limits_{j = 1}^{10} j\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\j\end{array}} \right)\;and,$${s_3} = \mathop \sum \limits_{j = 1}^{10} {j^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\j\end{array}} \right)\;,\;$
વિધાન $1$:${s_3} = 55 \times {2^9}$
વિધાન $2$: ${s_1} = 90 \times {2^8}\;$અને ${s_2} = 10 \times {2^8}$
વિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
વિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી છે.
વિધાન $-2$ સત્ય છે અને વિધાન $-1$ અસત્ય છે
વિધાન $-1$ સત્ય છે અને વિધાન $-2$ અસત્ય છે
Solution
$S_{1} =\sum j(j-1)^{10} C_{j}$
$=\sum j(j-1) \cdot \frac{10(10-1)}{(j-1)} \cdot^{8} C_{j-2}$
$ = 9 \times 10\sum\limits_{j = 2}^{10} {^8{C_{j – 2}}} = 90 \times {2^8}$
${S_2} = \sum\limits_{j = 1}^{10} j { \cdot ^{10}}{C_j} = 10\sum\limits_{j = 1}^{10} {^9{C_{j – 1}}} = 10 \times {2^9}$
${S_3} = \sum\limits_{j = 1}^{10} {{j^2}} { \cdot ^{10}}{C_j} = \sum\limits_{j = 1}^{10} {(j(j – 1) + j)} { \cdot ^{10}}{C_j}$
$ = \sum\limits_{j = 1}^{10} {j{{(j – 1)}^{10}}{C_j}} + \sum\limits_{j = 1}^{10} {j{.^{10}}{C_j}} $
$=90 \cdot 2^{8}+10 \cdot 2^{9}=(45+10) 2^{9}=55 \cdot 2^{9}$
Then statement $-1$ is true and statement $-2$ is false
