- Home
- Standard 11
- Mathematics
माना $S_{1}=\sum_{j=1}^{10} j(j-1)^{10} C_{j}, S_{2}=\sum_{j=1}^{10} j^{10} C_{j}$
और $S_{3}=\sum_{j=1}^{10} j^{210} C_{j}$
कथन $1: S_{3}=55 \times 2^{9}$
कथन $2: S_{1}=90 \times 2^{8}$ और $S_{2}=10 \times 2^{8}$
कथन $1$ सत्य है, कथन $2$ सत्य हैं; कथन $2$ कथन $1$ का सही स्पष्टीकरण है।
कथन $1$ सत्य है, कथन $2$ सत्य हैं; कथन $2$ कथन $1$ का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
कथन $1$ असत्य है, कथन $2$ सत्य है।
कथन $1$ सत्य है, कथन $2$ असत्य है।
Solution
$S_{1} =\sum j(j-1)^{10} C_{j}$
$=\sum j(j-1) \cdot \frac{10(10-1)}{(j-1)} \cdot^{8} C_{j-2}$
$ = 9 \times 10\sum\limits_{j = 2}^{10} {^8{C_{j – 2}}} = 90 \times {2^8}$
${S_2} = \sum\limits_{j = 1}^{10} j { \cdot ^{10}}{C_j} = 10\sum\limits_{j = 1}^{10} {^9{C_{j – 1}}} = 10 \times {2^9}$
${S_3} = \sum\limits_{j = 1}^{10} {{j^2}} { \cdot ^{10}}{C_j} = \sum\limits_{j = 1}^{10} {(j(j – 1) + j)} { \cdot ^{10}}{C_j}$
$ = \sum\limits_{j = 1}^{10} {j{{(j – 1)}^{10}}{C_j}} + \sum\limits_{j = 1}^{10} {j{.^{10}}{C_j}} $
$=90 \cdot 2^{8}+10 \cdot 2^{9}=(45+10) 2^{9}=55 \cdot 2^{9}$
Then statement $-1$ is true and statement $-2$ is false
