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माना $A, 2 \times 2$ कोटि का अशून्य प्रविष्टियों वाला एक आव्यूह है और माना $A^{2}=I$, जहाँ $I$ एक $2 \times 2$ कोटि का तल्समक आव्यूह है। $\operatorname{Tr}(A)=$ आव्यूह के विकर्ण पर स्थिति प्रविष्टियों का योगफल है तथा $|A|=$ आव्यूह $A$ का सारणिक
कथन$-1$ $: \operatorname{Tr}(A)=0$
कथन$-2$ $:|A|=1$
कथन $1$ असत्य है, कथन $2$ सत्य है।
कथन $1$ सत्य है, कथन $2$ सत्य हैं; कथन $2$ कथन $1$ का सही स्पष्टीकरण है।
कथन $1$ सत्य है, कथन $2$ सत्य हैं; कथन $2$ कथन $1$ का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
कथन $1$ सत्य है, कथन $2$ असत्य है।
Solution
Let $A=\left[\begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right]$
It is given that,
$A^{2}=I$
${\therefore \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&1
\end{array}} \right]}$
${ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^2} + bc}&{ab + bd}\\
{ac + cd}&{bc + {d^2}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&1
\end{array}} \right]}$
${ \Rightarrow {a^2} + bc = 1 \to 1}$
${ \Rightarrow ab + bd = 0 \Rightarrow b(a + d) = 0 \Rightarrow a = – d \to (2) \ldots [Asb \ne 0]}$
So, we can write
$A=\left[\begin{array}{cc}{a} & {b} \\ {c} & {-a}\end{array}\right]$
$\therefore \operatorname{Tr}(A)=a+(-a)=0$
$|A|=-a^{2}-b c=-\left(a^{2}+b c\right)=-1$
So, first statement is true but second statement is false.
