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माना $A$ और $B$ कोटि $3$ के दो सममित आव्यूह हैं
कथन$-1 :$ $A(B A)$ तथा $(A B) A$ सममित आव्यूह हैं।
कथन$-2 :$ $A B$ एक सममित आव्यूह है यदि आव्यूहों $A$ तथा $B$ की गुणा क्रम-विनिमेयकारी है।
कथन$-1$ सत्य है, कथन$-2$ असत्य है।
कथन$-1$ असत्य है, कथन$-2$ सत्य है।
कथन$-1$ सत्य हैं, कथन$-2$ सत्य हैं। कथन$-2$, कथन$-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
कथन$-1$ सत्य है, कथन$-2$ सत्य है। कथन$-2$, कथन$-1$ की सही व्याख्या है।
Solution
$\therefore A^{\prime}=A$
$B^{\prime}=B$
Now $(\mathrm{A}(\mathrm{BA}))^{\prime}=(\mathrm{BA})^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$
$=\left(A^{\prime} B^{\prime}\right) A^{\prime}=(A B) A=A(B A)$
Similarly $((\mathrm{AB}) \mathrm{A})^{\prime}=(\mathrm{AB}) \mathrm{A}$
So, $A(B A)$ and $(A B) A$ are symmetric matrices.
Again $(\mathrm{AB})^{\prime}=\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}=\mathrm{BA}$
Now if $\mathrm{BA}=\mathrm{AB},$ then $\mathrm{AB}$ is symmetric matrix.
