જો $a, b, c > 0$ અને $\Delta  = \left| \begin{gathered}
  a + b\,\,b\,\,c \hfill \\
  b\, + \,c\,\,c\,\,\,a \hfill \\
  c + a\,\,a\,\,b \hfill \\ 
\end{gathered}  \right| ,$ હોય તો આપલે પૈકી ક્યૂ વિધાન અસત્ય થાય.

જો $(\mathrm{k}, 0),(4,0),(0,2)$ શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ હોય, તો $\mathrm{k}$ નું મૂલ્ય શોધો.

અંતરાલ $ - \frac{\pi }{4} \le x \le \frac{\pi }{4}$ માટે  $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x}&{\cos x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\sin x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\cos x}&{\sin x}\end{array}\,} \right| = 0$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા મેળવો.

જો $f\left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sin \left( {x + \alpha } \right)}&{\sin \left( {x + \beta } \right)}&{\sin \left( {x + \gamma } \right)} \\ 
  {\cos \left( {x + \alpha } \right)}&{\cos \left( {x + \beta } \right)}&{\cos \left( {x + \gamma } \right)} \\ 
  {\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}&{\sin \left( {\beta  + \gamma } \right)}&{\sin \left( {\gamma  + \alpha } \right)} 
\end{array}} \right|$ અને $f(10) = 10$ તો $f(\pi)$ મેળવો.

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&x&y\\
2&{\sin x + 2x}&{\sin y + 2y}\\
3&{\cos x + 3x}&{\cos y + 3y}
\end{array}} \right|$ મેળવો.

$ k$ ની . . . . કિમત માટે સમીકરણો $x + ky + 3z = 0,$ $3x + ky - 2z = 0,$ $2x + 3y - 4z = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ મળે.