જો k₁ , k₂ એ k ની મહતમ અને ન્યૂનતમ કિમતો છે

English

Gujarati

Hindi

3 and 4 .Determinants and Matrices

normal

જો $k_1$, $k_2$ એ $k$ ની મહતમ અને ન્યૂનતમ કિમતો છે કે જેથી સમીકરણોની સહંતિ $x + ky = 1$ ; $kx + y = 2$; $x + y = k$ એ સુસંગત થાય છે તો $k_1^2 + k_2^2$ મેળવો.

A

$\frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}$

B

$5$

C

$\frac{{9 - \sqrt {13} }}{2}$

D

$7$

Solution

For the system to be consistent $\Delta=0$

$\Rightarrow\left|\begin{array}{lll}{1} & {k} & {1} \\ {k} & {1} & {2} \\ {1} & {1} & {k}\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow(k-1)\left(k^{2}+k-3\right)=0$

$\Rightarrow \mathrm{k}=1$ or $\mathrm{k}^{2}+\mathrm{k}-3=0$

But if $\mathrm{k}=1$ equations will have no solution

$\Rightarrow \mathrm{k}^{2}+\mathrm{k}=3$

Further if $\mathrm{k}^{2}+\mathrm{k}=3$ then none of the pair of lines are parallel

$\Rightarrow \mathrm{k}_{1}^{2}+\mathrm{k}_{2}^{2}=7$

Standard 12

Mathematics

Share

Similar Questions

જો સમીકરણની સંહતિ $x + ay = 0,$ $az + y = 0$ અને $ax + z = 0$ ને અનંત ઉકેલ હોય, તો $a$ ની કિમત મેળવો

easy

(IIT-2003)

જ્યારે તટસ્થ પાસાને ફેક્વામા આવે છે ત્યારે ઉપર આવતી સંખ્યાને ધારોકે $N$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. જો સમીકરણ સંહતિ

$x+y+z=1$ ; $2 x+N y+2 z=2$ ; $3 x+3 y+N z=3$

ને અનન્ય ઉકેલ હોવાની સંભાવના $\frac{k}{6}$ હોય, તો $k$ નું મૂલ્ય તથા $N$ ની શક્ય તમામ કિંમતો નો સરવાળો $………..$ છે.

hard

(JEE MAIN-2023)

$xyz$ ના ગુણાકારની ન્યૂનતમ કિમત મેળવો કે જેથી $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
x&1&1 \\
1&y&1 \\
1&1&z
\end{array}} \right|$ ની કિમંત અનૃણ મળે.

hard

(JEE MAIN-2015)

જો $\left| \begin{gathered}
– 6\ \ \,\,1\ \ \,\,\lambda \ \ \hfill \\
\,0\ \ \,\,\,\,3\ \ \,\,7\ \ \hfill \\
– 1\ \ \,\,0\ \ \,\,5\ \ \hfill \\
\end{gathered} \right| = 5948 $, તો $\lambda $ મેળવો.

medium

વિધાન $-1$ : સમીકરણો $x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0$ ;$x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0$ ;$x – \left( {\sin \,\alpha } \right)y – \left( {\cos \alpha } \right)z = 0$ ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ $\alpha $ ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ $\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)$ તેના માટે ધરાવે છે .

વિધાન $-2$ : સમીકરણ કે જે $\alpha $ સ્વરૂપ માં છે

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\
{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\
{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ – \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ – \cos {\mkern 1mu} \alpha }
\end{array}} \right| = 0$

નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ $\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)$ માં છે .

hard

(JEE MAIN-2013)