मान लीजिए कि S ₁={( i , j , k ): i , j , k ∈{1,2, ldots, 10}} S ₂={( i , j

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6.Permutation and Combination

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मान लीजिए कि

$S _1=\{( i , j , k ): i , j , k \in\{1,2, \ldots, 10\}\}$

$S _2=\{( i , j ): 1 \leq i < j +2 \leq 10, i , j \in\{1,2, \ldots, 10\}\},$

$S _3=\{( i , j , k , l): 1 \leq i < j < k < l, i , j , k , l \in\{1,2, \ldots ., 10\}\}$

और $S _4=\{( i , j , k , l): i , j , k$ और $l\{1,2, \ldots, 10\}$ में भिन्न (distinct) अवयवों (elements) है $\}$

यदि $r =1,2,3,4$ के लिए समुच्चय $S _{ r }$ में कुल अवयवों की संख्या $n _{ r }$ है, तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

$(A)$ $n _1=1000$ $(B)$ $n _2=44$ $(C)$ $n _3=220$ $(D)$ $\frac{ n _4}{12}=420$

$A,B,C$

$A,B$

$A,B,D$

$A,C$

(IIT-2021)

Solution

$(A)$ $n _1=10 \times 10 \times 10=1000$

$(B)$ As per given condition $1 \leq i < j +2 \leq 10 \Rightarrow j \leq 8$ & $i \geq 1$ for $i =1,2, \quad j =1,2,3, \ldots, 8 \rightarrow(8+8)$ possibilities for $i =3, \quad j =2,3, \ldots, 8 \rightarrow 7$ possibilities $i =4, \quad j =3, \ldots, 8 \rightarrow 6$ possibilities $i =9, \quad j =1 \quad \rightarrow 1$ possibility

So $n _2=(1+2+3+\ldots . .+8)+8=44$

$(C)$ $n _3={ }^{10} C _4$ (Choose any four)

$=210$

$(D)$ $n _4={ }^{10} C _4 \cdot 4!=(210)$

$\Rightarrow \frac{ n _4}{12}=420$

So correct Ans.$(A), (B), (D)$

Standard 11

Mathematics