समीकरण $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=21$, जहाँ $\mathrm{x} \geq 1, \mathrm{y} \geq 3, \mathrm{z} \geq 4$ हैं, के पूर्णांकीय हलों की संख्या है___________.

चार डिब्बों पर विचार कीजिए, जहाँ प्रत्येक डिब्बे में $3$ लाल गेंदें एवं $2$ नीली गेंदें हैं। मान लीजिए कि सभी $20$ गेंदें भिन्न (distinct) हैं। इन $4$ डिब्बों से $10$ गेंदों को कितने भिन्न तरीके से चयनित किया जा सकता है कि प्रत्येक डिब्बे से कम से कम एक लाल गेंद एवं एक नीली गेंद चयनित हों ?

$5$ लड़के और $4$ लड़कियों में से $3$ लड़के और $3$ लड़कियों की टीमें बनाने के कितने तरीके हैं ?

संख्याओं $1, 2, 3, 4, ...., 200$ द्वारा सभी सम्भव दो गुणनखण्ड बनते हैं। सभी प्राप्त खण्डों में से $5$ के गुणज खण्डों की संख्या है

यदि $^n{P_r} = 840,{\,^n}{C_r} = 35,$ तब $n$ का मान है

$10$ व्यक्ति, जिनमें $A, B$ तथा $C$ सम्मिलित हैं, एक कार्यक्रम में भाषण देने वाले हैं। यदि $A, B$ के पूर्व भाषण देना चाहे तथा $B,C$ के पूर्व भाषण देना चाहे तब कुल कितने प्रकार से यह कार्यक्रम हो सकेगा