किसी खुले मैदान में कोई मोटर चालक एक ऐसा रास्ता अपनाता है जो प्रत्येक $500\, m$ के बाद उसके बाईं ओर $60^{\circ}$ के कोण पर मुड़ जाता है। किसी दिए मोड़ से शुरू होकर मोटर चालक का तीसरे, छठे व आठवें मोड़ पर विस्थापन बताइए। प्रत्येक स्थिति में मोटर चालक द्वारा इन मोड़ों पर तय की गई कुल पथ-लंबाई के साथ विस्थापन के परिमाण की तुलना कीजिए।
The path followed by the motorist is a regular hexagon with side $500\, m$, as shown in the given figure
Let the motorist start from point $P$. The motorist takes the third turn at $S$.
$\therefore$ Magnitude of displacement $= PS = PV + VS =500+500=1000 \,m$
Total path length $= PQ + QR + RS =500+500+500=1500\, m$
The motorist takes the sixth turn at point $P$, which is the starting point.
$\therefore$ Magnitude of displacement $=0$ Total path length $= PQ + QR + RS + ST + TU + UP$
$=500+500+500+500+500+500=3000 \,m$
The motorist takes the eight turn at point $R$
$\therefore$ Magnitude of displacement $= PR$
$=\sqrt{ PQ ^{2}+ QR ^{2}+2( PQ ) \cdot( QR ) \cos 60^{\circ}}$
$=\sqrt{500^{2}+500^{2}+\left(2 \times 500 \times 500 \times \cos 60^{\circ}\right)}$
$=\sqrt{250000+250000+\left(500000 \times \frac{1}{2}\right)}$
$=866.03\, m$
$\beta=\tan ^{-1}\left(\frac{500 \sin 60^{\circ}}{500+500 \cos 60^{\circ}}\right)=30^{\circ}$
Therefore, the magnitude of displacement is $866.03\, m$ at an angle of $30^{\circ}$ with $PR$. Total path length $=$ Circumference of the hexagon $+ PQ + QR$ $=6 \times 500+500+500=4000\, m$
The magnitude of displacement and the total path length corresponding to the required turns is shown in the given table
Turn | Magnitude of displacement | Total path length |
Third | $1000 $ | $1500 $ |
Sixth | $0 $ | $3000 $ |
Eighth | $866.03 ; 30^{\circ}$ | $4000$ |
दो सदिशों $6\hat i + 7\hat j$ तथा $3\hat i + 4\hat j$ के योग से प्राप्त सदिश का परिमाण है
दो बलों का सदिश योग उनके सदिश अंतर के लम्बवत् है। इस स्थिति में बल
दो सदिशों $\overrightarrow{ X }$ और $\overrightarrow{ Y }$ के परिमाण समान हैं। $(\overrightarrow{ X }-\overrightarrow{ Y })$ का परिमाण $(\overrightarrow{ X }+\overrightarrow{ Y })$ के परिमाण का $n$ गुना है। $\overrightarrow{ X }$ और $\overrightarrow{ Y }$ के बीच के कोण का मान है।
सदिश $\overrightarrow{ A }$ और $\overrightarrow{ B } .$ इस प्रकार हैं कि $|\overrightarrow{ A }+\overrightarrow{ B }|=|\overrightarrow{ A }-\overrightarrow{ B }|$ इन दो सदिशों के बीच का कोण है
दो सदिशों $\hat i - 2\hat j + 2\hat k$ तथा $2\hat i + \hat j - \hat k,$ में कौनसा सदिश जोडे़ं कि उनका परिणामी $X-$अक्ष के अनुदिश इकाई सदिश हो