એક ખુલ્લા મેદાનમાં એક કારચાલક એવો રસ્તો પકડે છે કે જે દરેક $500$ મીટર અંતર બાદ તેની ડાબી બાજુ $60^{°}$ ના ખૂણે વળાંક લે છે. એક વળાંકથી શરૂ કરી, કારચાલકના ત્રીજા, છઠ્ઠા તથા આઠમા વળાંક પાસે સ્થાનાંતર શોધો. આ દરેક સ્થિતિમાં કારચાલકની કુલ પથ લંબાઈની તેના સ્થાનાંતરના માન સાથે તુલના કરો.
The path followed by the motorist is a regular hexagon with side $500\, m$, as shown in the given figure
Let the motorist start from point $P$. The motorist takes the third turn at $S$.
$\therefore$ Magnitude of displacement $= PS = PV + VS =500+500=1000 \,m$
Total path length $= PQ + QR + RS =500+500+500=1500\, m$
The motorist takes the sixth turn at point $P$, which is the starting point.
$\therefore$ Magnitude of displacement $=0$ Total path length $= PQ + QR + RS + ST + TU + UP$
$=500+500+500+500+500+500=3000 \,m$
The motorist takes the eight turn at point $R$
$\therefore$ Magnitude of displacement $= PR$
$=\sqrt{ PQ ^{2}+ QR ^{2}+2( PQ ) \cdot( QR ) \cos 60^{\circ}}$
$=\sqrt{500^{2}+500^{2}+\left(2 \times 500 \times 500 \times \cos 60^{\circ}\right)}$
$=\sqrt{250000+250000+\left(500000 \times \frac{1}{2}\right)}$
$=866.03\, m$
$\beta=\tan ^{-1}\left(\frac{500 \sin 60^{\circ}}{500+500 \cos 60^{\circ}}\right)=30^{\circ}$
Therefore, the magnitude of displacement is $866.03\, m$ at an angle of $30^{\circ}$ with $PR$. Total path length $=$ Circumference of the hexagon $+ PQ + QR$ $=6 \times 500+500+500=4000\, m$
The magnitude of displacement and the total path length corresponding to the required turns is shown in the given table
Turn | Magnitude of displacement | Total path length |
Third | $1000 $ | $1500 $ |
Sixth | $0 $ | $3000 $ |
Eighth | $866.03 ; 30^{\circ}$ | $4000$ |
$a$ બાજુ ધરાવતા ઘનમાં, ફલક (સપાટી) $ABOD$ ના કેન્દ્ર આગળથી ફલક $BEFO$ ના કેન્દ્ર સુધી (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર) દોરેલ સદિશ કયો હશે.
$\vec A$ અને $\vec B $ નો પરિણામી સદીશ $\vec R_1$ છે . વિરુદ્ધ સદીશ $\vec B $ પર પરિણામી સદીશ $\vec R_2 $ બને તો ${\rm{R}}_{\rm{1}}^{\rm{2}}\,\, + \,\,{\rm{R}}_{\rm{2}}^{\rm{2}}$ નું મૂલ્ય શું હશે ?
$\overrightarrow{O P}, \overrightarrow{O Q}, \overrightarrow{O R}, \overrightarrow{O S}$ અને $\overrightarrow{{OT}}$ નું પરિણામી બળ લગભગ $\ldots \ldots {N}$ જેટલું થાય.
[$\sqrt{3}=1.7, \sqrt{2}=1.4$ , $\hat{{i}}$ અને $\hat{{j}}$ એ ${x}, {y}$ અક્ષની દિશાના એકમ સદીશ છે.$]$
$ \hat i - 3\hat j + 2\hat k $ અને $ 3\hat i + 6\hat j - 7\hat k $ ,ના સરવાળામાં કયો સદિશ ઉમેરવાથી Y-દિશાનો એકમ સદિશ મળે?
બે સદિશ $\vec A$ અને $\vec B$ સમાન માન ધરાવે છે. $(\vec A + \vec B)$ નું માન એ $(\vec A - \vec B)$ ના માન કરતા $n$ ગણું છે. $\vec A$ અને $\vec B$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો હશે?