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भार $W$ तथा लम्बाई $L$ की एक क्षैतिज (horizontal) एकसमान बीम (uniform beam) के एक सिरे को एक उर्ध्वाधर दीवार के बिन्दु $O$ पर कब्जे से अटकाया गया (hinged) है। बीम का दूसरा सिरा $P$ एक भारहीन तथा न खींचने वाली (inextensible) डोरी से बंधा है। डोरी का दूसरा सिरा $Q$ बिन्दु $O$ पर स्थित कब्जे (hinge) से $L$ ऊंचाई पर बंधा है। बीम के सिरे $P$ से $\alpha W$ भार का एक गुटका जुड़ा है, जैसा चित्र में दर्शाया गया है। चित्र पैमाने (scale) के अनुसार नहीं है। डोरी अधिकतम तनाव $(2 \sqrt{2}) W$ वहन कर सकती है। निम्न में से कौन सा(से) कथन सही है (हैं)?
$(A)$ बिन्दु $O$ पर लगे प्रतिक्रिया बल का ऊर्ध्वाधर घटक, $\alpha$ पर निर्भर नहीं करता है
$(B)$ बिन्दु $O$ पर लग प्रतिक्रिया बल का क्षैतिज घटक, $\alpha=0.5$ के लिए, $W$ के बराबर है
$(C)$ $\alpha=0.5$ के लिए डोरी में तनाव $2 W$ है
$(D)$ यदि $\alpha>1.5$ हो, तो डोरी टूट जाएगी

$A,B,D$
$A,B,C$
$A,B$
$A,D$
Solution

$R _{ y }+\frac{ T }{\sqrt{2}}= W +\alpha W$ $. . . . . . (i)$
$R _{ x }=\frac{ T }{\sqrt{2}}$ $. . . . . . (ii)$
Taking torque about ' $O$ '
$W \frac{\ell}{2}+\alpha W \ell=\frac{ T }{\sqrt{2}} \ell$
$T =\sqrt{2}\left(\frac{ W }{2}+\alpha W \right)$ $. . . . . . (iii)$
$R _{ x }=\frac{ T }{\sqrt{2}}=\left(\frac{ W }{2}+\alpha W \right)$
Taking torque about $P$
$R _{ y } \ell= W \frac{\ell}{2}$
$R _{ y }=\frac{ W }{2}$
$\text { when } T = T _{\max }$
$2 \sqrt{2} W =\sqrt{2}\left(\frac{ W }{2}+\alpha W \right)$
we get $\alpha=\frac{3}{2}$