14.Waves and SoundMedium

$8.0 \times 10^{-3} \,kg m ^{-1}$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व की किसी लंबी डोरी का एक सिरा $256\, Hz$ आवृत्ति के विध्यूत चालित स्वरित्र द्विभुज से जुड़ा है । डोरी का दूसरा सिरा किसी स्थिर घिरनी के ऊपर गुजरता हुआ किसी तुला के पलड़े से बँधा है जिस पर $90\, kg$ के बाट लटके हैं। घिरनी वाला सिरा सारी आवक कर्जा को अवशोषित कर लेता है जिसके कारण इस सिरे से परावर्तित तरंगों का आयाम नगण्य होता है । $t=0$ पर डोरी के बाएँ सिरे ( द्विभुज वाले सिरे) $x=0$ पर अनुप्रस्थ विस्थापन शून्य है ( $y=0$ ) तथा वह $y$ की धनात्मक दिशा के अनुदिश गतिशील है । तरंग का आयाम $5.0 \,cm$ है । डोरी पर इस तरंग का वर्णन करने वाले अनुप्रस्थ विस्थापन $y$ को $x$ तथा $t$ के फलन के रूप में लिखिए

Solution

The equation of a travelling wave propagating along the positive $y$ -direction is given by the

displacement equation: $y(x, t)=a \sin (w t-k x) \ldots(i)$

$\mu=8.0 \times 10^{-3}\, kg\, m ^{-1}$

Linear mass density,

Frequency of the tuning fork, $v=256\, Hz$

Amplitude of the wave, $a=5.0\, cm =0.05\, m \ldots (ii)$

Mass of the pan, $m=90 \,kg$

Tension in the string, $T=m g=90 \times 9.8=882\, N$

The velocity of the transverse wave $v$, is given by the relation

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

$=\sqrt{\frac{882}{8.0 \times 10^{-3}}}=332 \,m / s$

Angular frequency, $\omega=2 \pi v$ $=2 \times 3.14 \times 256$

$=1608.5=1.6 \times 10^{3}\, rad / s\ldots(iii)$

Wavelength, $\lambda=\frac{v}{v}=\frac{332}{256} \,m$

$\therefore$ Propagation constant, $k=\frac{2 \pi}{\lambda}$

$=\frac{2 \times 3.14}{\frac{332}{256}}=4.84 \,m ^{-1}\ldots(i v)$

Substituting the values from equations $ (ii), (iii)$, and $(iv)$ in equation ($i$), we get the displacement equation:

$y(x, t)=0.05 \sin \left(1.6 \times 10^{3} t-4.84 x\right)\, m$

$L$ लम्बाई तथा एक समान रेखीय घनत्व की रस्सी छत से लटक रही है। रस्सी के मुक्त सिरे पर उत्पन्न एक अनुप्रस्थ तरंग स्पंद (transverse wave pule) रस्सी के ऊपरी सिरे की ओर गति करता है। सही कथन का चुनाव कीजिए।

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