સાબિત કરો $\sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $
By Binomial Theorem,
$\sum\limits_{r = 0}^n {{\,^n}{C_r}{a^{n - r}}{b^r} = {{\left( {a + b} \right)}^n}} $
By putting $b=3$ and $a=1$ in the above equation, we obtain
$\sum\limits_{r = 0}^n {{\,^n}{C_r}{{\left( 1 \right)}^{n - r}}{{\left( 3 \right)}^r} = {{\left( {1 + 3} \right)}^n}} $
$ \Rightarrow \sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $
Hence proved.
${(1 + x)^n}$ ના દ્રીપદી વિતરણમાં દ્રીતીય , તૃતીય અને ચતૃથ પદો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $n$ ની કિમંત મેળવો.
$(1 -x^4)^4 (1 + x)^5$ ના વિસ્તરણમાં $x^8$ નો સહગુણક મેળવો
દ્રીપદી ${(1 + ax)^n}$ $(n \ne 0)$ ના વિસ્તરણમાં પ્રથમ ત્રણ પદો $1, 6x$ અને $16x^2$ હોય, તો $a$ અને $n$ ની કિમત અનુક્રમે . . . . થાય.
$(1+ x)(1- x)^{10} (1+ x + x^2 )^9$ ના વિસ્તરણમાં $x^{18}$ નો સહગુણક મેળવો.
$(1 + x)\,{(1 - x)^n}$ ના વિસ્તરણમાં ${x^n}$ નો સહગુણક મેળવો.