સાબિત કરો $\sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

By Binomial Theorem,

$\sum\limits_{r = 0}^n {{\,^n}{C_r}{a^{n - r}}{b^r} = {{\left( {a + b} \right)}^n}} $

By putting $b=3$ and $a=1$ in the above equation, we obtain

$\sum\limits_{r = 0}^n {{\,^n}{C_r}{{\left( 1 \right)}^{n - r}}{{\left( 3 \right)}^r} = {{\left( {1 + 3} \right)}^n}} $

$ \Rightarrow \sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $

Hence proved.

Similar Questions

${\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ ના વિસ્તરણમાં $\frac{1}{x}$ નો સહગુણક મેળવો 

${(1 + \alpha x)^4}$ અને ${(1 - \alpha x)^6}$ ના દ્રીપદી વિતરણમાં બંને ના મધ્યમપદમાં $x$ ના સહગુણક સમાન હોય તો $\alpha $ મેળવો.

  • [AIEEE 2004]

ધારો કે $\left(\sqrt{2^{\log _2}\left(10-3^x\right)}+\sqrt[5]{2^{(x-2) \log _2 3}}\right)^m$ નું દ્રીપદી વિસ્તરણ એ $2^{(x-2) \log _2 3}$ની વધતી ધાતમાં લઈએ,તો તેનું છઠ્ઠું પદ $21$ છે.જો આ દ્રીપદી વિસ્તરણના બીજા,ત્રીજા અને ચોથા પદોના સહગુણકો અનુક્રમે સમાંતર શ્રેણી ણા પ્રથમ,ત્રીજા અને પાંચમાં પદો હોય,તો $x$ની શક્ય તમામ કિમતોના વર્ગોનો સરવાળો $..............$ છે.

  • [JEE MAIN 2023]

$\left( {{2^{1/3}} + \frac{1}{{2{{\left( 3 \right)}^{1/3}}}}} \right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં પહેલેથી $5^{th}$ માં પદ અને છેલ્લેથી $5^{th}$ માં પદનો ગુણોત્તર મેળવો.

  • [JEE MAIN 2019]

જો $1 + {x^4} + {x^5} = \sum\limits_{i = 0}^5 {{a_i}\,(1 + {x})^i,} $ બધા $x\,\in$ $R$ માં આવેલ છે  તો $a_2$ ની કિમત મેળવો. 

  • [JEE MAIN 2014]